При побудові пари двох дуг кіл третьою дугою заданого радіусу можна розглянути три випадки: коли дуга, що сполучає, радіуса Rстосується заданих дуг радіусів R 1і R 2із зовнішнього боку (рисунок 36, а); коли вона створює внутрішній торкання (рисунок 36, б);коли поєднуються внутрішній і зовнішній торкання (рисунок 36, в).

Побудова центру Просполучної дуги радіусу Rпри зовнішньому торканні здійснюється у такому порядку: із центру Про 1радіусом, рівним R + R 1 ,проводять допоміжну дугу, а з центру O 2проводять допоміжну дугу радіусом R + R 2 .На перетині дуг отримують центр Продуги радіуса, що сполучається R,а на перетині радіусом R + R 1і R + R 2 сдугами кіл отримують точки сполучення Аі А 1 .

Побудова центру Пропри внутрішньому торканні відрізняється тим, що з центру Про 1 R- R 1 а з центру Про 2радіусом R- R2.При поєднанні внутрішнього та зовнішнього торкання із центру Про 1проводять допоміжне коло радіусом, рівним R- R 1 ,а з центру Про 2- радіусом, рівним R + R 2 .

Малюнок 36 – Сполучення кіл дугою заданого радіуса

Сполучення кола та прямої лінії дугою заданого радіусу

Тут може бути розглянуто два випадки: зовнішнє сполучення (рисунок 37, а) та внутрішнє (рисунок 37, б).У тому і в іншому випадку при побудові дуги радіуса, що сполучає Rцентр сполучення Пролежить на перетині геометричних місць точок, рівно віддалених від прямої та дуги радіусу Rна величину R1.

При побудові зовнішньої пари паралельно заданої прямої на відстані R 1у бік кола проводять допоміжну пряму, та якщо з центру Прорадіусом, рівним R + R 1 ,- допоміжне коло, і на їхньому перетині отримують точку Про 1- Центр сполучного кола. З цього центру радіусом Rпроводять сполучну дугу між точками Аі А 1 ,побудова яких видно з креслення.

Малюнок 37 - Сполучення кола та прямої лінії другою дугою

Побудова внутрішньої пари відрізняється тим, що з центру Пропроводять допоміжну дугу радіусом, рівним R- R1.

Овали

Плавні опуклі криві, окреслені дугами кіл різних радіусів, називають овалами. Овали складаються з двох опорних кіл з внутрішніми сполученнями між ними.

Розрізняють овали трицентрові та багатоцентрові. При кресленні багатьох деталей, наприклад кулачків, фланців, кришок та інших, контури їх окреслюють овалами. Розглянемо приклад побудови овалу по заданих осях. Нехай для чотирицентрового овалу, окресленого двома опорними дугами радіусу Rі двома сполучними дугами радіусу r , задані велика вісь АВі мала вісь CD.Величину радіусів R u rтреба визначити шляхом побудов (рисунок 38). З'єднаємо кінці великої та малої осі відрізком A З,на якому відкладемо різницю РЄвеликої та малої півосей овалу. Проведемо перпендикуляр до середини відрізка AF,який перетне велику і малу осі овалу в точках Про 1і Про 2 .Ці точки будуть центрами дуг овалу, що сполучаються, а точка сполучення буде лежати на самому перпендикулярі.

Малюнок 38 – Побудова овалу

Лекальні криві

Лекальниминазивають плоскі криві, викреслені за допомогою лекал за попередньо побудованими точками. До лекальних кривих відносять: еліпс параболу, гіперболу, циклоїду, синусоїду евольвенту та ін.

Еліпсє замкнутою плоскою кривою другого порядку. Вона характеризується тим, що сума відстаней від будь-якої її точки до двох точок фокусів є постійна величина, що дорівнює більшій осі еліпса. Побудувати еліпс можна кількома способами. Наприклад, можна побудувати еліпс за його великою АВта малої CDосям (рисунок 39, а). На осях еліпса як у діаметрах будують два кола, які можна розділити радіусами кілька частин. Через точки поділу великого кола проводять прямі, паралельні малій осі еліпса, а через точки розподілу малого кола - прямі, паралельні великій осі еліпса. Точки перетину цих прямих є точками еліпса.

Можна навести приклад побудови еліпса за двома сполученими діаметрами (рисунок 39, б) MN та KL.Сполученими два діаметри називають, якщо кожен із них ділить навпіл хорди, паралельні іншому діаметру. На сполучених діаметрах будують паралелограм. Один із діаметрів MNділять на рівні частини; на такі частини ділять і сторони паралелограма, паралельні іншому діаметру, нумеруючи їх, як показано на кресленні. З кінців другого сполученого діаметра KLчерез точки розподілу проводять промені. У перетині однойменних променів одержують точки еліпса.

Малюнок 39 – Побудова еліпса

Параболоюназивають незамкнуту криву другого порядку, всі точки якої однаково віддалені від однієї точки - фокусу і від цієї прямої - директриси.

Розглянемо приклад побудови параболи на її вершині Проі будь-якій точці У(Малюнок 40, а). Зцією метою будують прямокутник ОABCі ділять його сторони на рівні частини, з точок поділу проводять промені. У перетині однойменних променів одержують точки параболи.

Можна навести приклад побудови параболи у вигляді кривої, що стосується прямої із заданими на них точками. Аі У(Малюнок 40, б).Сторони кута, утвореного цими прямими, ділять на рівні частини та нумерують точки поділу. однойменні точки з'єднують прямими. Параболу викреслюють як огинаючу цих прямих.

Малюнок 40 – Побудова параболи

Гіперболоюназивають плоску незамкнену криву другого порядку, що складається з двох гілок, кінці яких віддаляються в нескінченність, прагнучи своїх асимптотів. Гіпербола відрізняється тим, що кожна точка її має особливу властивість: різницю її відстаней від двох даних точок-фокусів є величина постійна, що дорівнює відстані між вершинами кривої. Якщо асимптоти гіперболи взаємно перпендикулярні, вона називається рівнобокою. Рівнобока гіпербола широко застосовується для побудови різних діаграм, коли задана своїми координатами одна точка. М(Малюнок 40, в).В цьому випадку через задану точку проводять лінії АВі KLпаралельно координатним осям. З отриманих точок перетину проводять лінії, паралельні координатним осям. У їхньому перетині отримують точки гіперболи.

Циклоїдоюназивають криву лінію, що є траєкторією точки Апри перекочуванні кола (рисунок 41). Для побудови циклоїди від вихідного положення точки Авідкладають відрізок АА],відзначають проміжне положення точки А.Так, у перетині прямої, що проходить через точку 1, з колом, описаним з центру О 1 ,одержують першу точку циклоїди. З'єднуючи плавний прямий побудовані точки, одержують циклоїду.

Малюнок 41 – Побудова циклоїди

Синусоїдоюназивають плоску криву, що зображує зміну синуса в залежності від зміни його кута. Для побудови синусоїди (рисунок 42) потрібно розділити коло на рівні частини і таку ж кількість рівних частин розділити відрізок прямий АВ = 2лR.З однойменних точок поділу провести взаємно перпендикулярні лінії, у перетині яких отримують точки, що належать до синусоїди.

Малюнок 42 – Побудова синусоїди

Евольвентоюназивають плоску криву, яка є траєкторією будь-якої точки прямої лінії, що перекочується по колу без ковзання. Побудову евольвенти виконують у такому порядку (рисунок 43): коло ділять на рівні частини; проводять дотичні до кола, спрямовані в один бік і проходять через кожну точку поділу; на дотичній, проведеній через останню точку поділу кола, відкладають відрізок, що дорівнює довжині кола 2 л R,який ділять на стільки ж рівних частин. На першій дотичній відкладають один поділ 2 л R/n, на другий - два і т.д.

Отримані точки з'єднують плавною кривою і одержують евольвенту кола.

Малюнок 43 – Побудова евольвенти

Запитання для самоперевірки

1 Як поділити відрізок на будь-яку рівну кількість частин?

2 Як поділити кут навпіл?

3 Як поділити коло на п'ять рівних частин?

4 Як побудувати дотичну із заданої точки до цього кола?

5 Що називається поєднанням?

6 Як сполучити два кола дугою заданого радіусу із зовнішнього боку?

7 Що називається овалом?

8 Як будується еліпс?

Записи у зошиті фіолетовий колір, жовте тло – пояснення

Читаємо розуміємо, що чорний шрифт

Робимо те, що не зроблено в зошиті, якщо її немає, то на А4 - форматах, щоб вклеїти в зошит

Тема. Поєднання.

Значення сполучень у технічному кресленні

Графічна робота № 5. Креслення технічної деталі із застосуванням сполучень. Формат А4 (210×297).

Плавний перехід однієї лінії до іншої називається поєднанням. Загальна для ліній, що сполучаються, точка називається точкою сполучення, або точкою переходу. Для побудови пар необхідно знайти центр сполучення і точки сполучення. Розглянемо різні типи сполучення.

Поєднання прямого кута. Нехай необхідно здійснити сполучення прямого кута радіусом сполучення, що дорівнює відрізку АВ (R=AB). Знайдемо точки сполучення. Для цього поставимо ніжку циркуля у вершину кута та розчином циркуля, рівним відрізку АВ, зробимо засічки на сторонах кута. Отримані точки а та b є точками сполучення. Знайдемо центр сполучення - точку, рівновіддалену від сторін кута. Розчином циркуля, що дорівнює радіусу сполучення, з точок а і b проведемо всередині кута дві дуги до перетину один з одним. Отримана точка О – центр сполучення. З центру сполучення описуємо дугу заданого радіусу від точки до точки Ь. Обводимо спочатку дугу, а потім прямі лінії

Поєднання гострого і тупого кутів.

Щоб побудувати сполучення гострого кута, візьмемо розчин циркуля, який дорівнює заданому радіусу R=AB. По черзі поставимо ніжку циркуля в дві довільні точки на кожній із сторін гострого кута. Проведемо чотири дуги всередині кута, жак показано на ргас. 71, а. До них проведемо дві дотичні до перетину в точці Про - центр сполучення (рис. 71, б) - З центру сполучення опустимо перпендикуляри на сторони кута. Отримані точки а та b будуть точками сполучення (рис. 71, б). Поставивши ніжку циркуля в центр сполучення (О), розчином циркуля, що дорівнює заданому радіусу сполучення (R=AB), проведемо дугу сполучення.

Поєднання двох паралельних прямих.

Задані дві паралельні прямі та точка d, що лежить на одній з них (рис.72). Розглянемо послідовність побудови поєднання двох прямих. У точці d відновимо перпендикуляр до перетину його з іншого прямого. Точки d і є точками сполучення. Розділивши відрізок de навпіл, знайдемо центр сполучення. З нього радіусом сполучення проводимо дугу, що сполучає прямі.

Поєднання дуг двох кіл дугою заданого радіусу.

Існує кілька типів сполучення дуг двох кіл дугою заданого радіусу: зовнішнє, внутрішнє і змішане.

Побудова внутрішнього сполучення.

а). радіуси сполучених кіл R1 і R2;

б). відстань l1 та l2 між центрами цих дуг;

в). радіус R сполучної дуги.

Потрібно:

б).знайти точки сполучення s1 і s2;

в). провести дугу сполучення.

За заданими відстанями між центрами l1 і l2 на кресленні намічають центри О і О1, з яких описують дуги, що сполучаються радіусів R1 і R2. З центру О1 проводять допоміжну дугу кола радіусом, рівним різниці радіусів сполучної дуги R і сполучної R2, а з центру О -радіусом, рівним різниці радіусів сполучної дуги R і сполучної R1. Допоміжні дуги перетнуться в точці О2, яка і буде шуканим центром дуги, що сполучає.

Для знаходження точок сполучення точку О2 з'єднують з точками О і О1 прямими лініями. Точки перетину продовження прямих О2О і О2О1 з дугами, що сполучаються, є шуканими точками сполучення (точки s і s1).

Радіусом R з центру О2 проводять сполучну дугу між точками сполучення s і s1.

Побудова зовнішнього сполучення.

б) відстань l1 і l2 між центрами цих дуг;

в).радіус R сполучної дуги.

Потрібно:

а).визначити положення центру О2 сполучної дуги;

в).знайти точки сполучення s і s1;

в). провести дугу сполучення.

Побудова зовнішнього сполучення показано на рис. 18,б. За заданими відстанями між центрами l1 і l2 на кресленні знаходять точки Про і О1, з яких описують дуги, що сполучаються радіусів R1 і R2. З центру Про проводять допоміжну дугу кола радіусом, рівним сумі радіусів сполучається дуги R1 і сполучної R, а з центру О1 -радіусом, рівним сумі радіусів сполучається дуги R2 і сполучної R. Допоміжні дуги перетинаються в точці.

Для знаходження точок сполучення центри дуг з'єднують прямими лініями ОО2 та О2О2. Ці дві прямі перетинають дуги, що сполучаються в точках сполучення s і s1. З центру О2 радіусом R проводять сполучну дугу, обмежуючи її точками сполучення s1 і s.

Побудова змішаного поєднання.

а).радіуси R1 і R2 дуг кіл, що сполучаються;

б) відстані l1 і l2 між центрами цих дуг;

в).радіус R сполучної дуги.

Потрібно:

а).визначити положення центру О2 сполучної дуги;

б).знайти точки сполучення s і s1;

в). провести дугу сполучення.

За заданими відстанями між центрами l1 і l2 на кресленні намічають центри О і О1, з яких описують дуги, що сполучаються радіусів R1 і R2. З центру Про проводять допоміжну дугу кола радіусом, рівним сумі радіусів дуги, що сполучається R1 і сполучної R, а з центру О1 -радіусом, рівним різниці радіусів R і R2. Допоміжні дуги перетнуться в точці О2, яка буде шуканим центром дуги, що сполучає.

З'єднавши точки і О2 прямий, отримують точку сполучення s1; з'єднавши точки О1 і О2 знаходять точку сполучення s. З центру О2 проводять дугу сполучення від s до s1.

При кресленні контуру деталі необхідно розібратися, де є плавні переходи, і уявити, де треба виконати ті чи інші види сполучення.

Для набуття навичок побудови сполучення виконують вправи з креслення контурів складних деталей. Перед вправою необхідно переглянути завдання, намітити порядок побудови пар і лише після цього приступити до виконання побудов.

Тема: Лекальні криві.

Загальні відомості. Правила користування лекалом Побудова лекальних кривих: еліпса, параболи, гіперболи, циклоїди, синусоїди, евольвенти, спіралі Архімеда. Практична робота.Вправа на побудову лекальних кривих

Коробові криві лінії.

Деякі деталі машин, інструменти для обробки металів мають контури, обмежені замкнутими кривими лініями, що складаються з дуг кіл різних діаметрів, що взаємно сполучаються.

Коробовими кривими називаються криві, утворені поєднанням дуг кіл. До таких кривих відносяться овали, овоїди, завитки.

Побудова овалу.

Овал - замкнута коробова крива, що має дві осі симетрії.

Послідовність побудови овалу за заданим розміром великої осі овалу АВ виробляють наступним чином (рис., а). Вісь АВ ділять на три рівні частини (АО1, О1О2, О2В). Радіусом, рівним О1О2, з точок поділу О1 і О2 проводять кола, що перетинаються в точках m і n.

З'єднавши точки n і m з точками О1 і О2, отримують прямі nО1, nО2, mО1, mО2, які продовжують до перетину з колами. Отримані точки 1,2,3 і 4 є точками сполучення дуг. З точок m і n, як із центрів, радіусом R1, рівним n2 і m3, проводять верхню дугу 12 і нижню дугу 34.

Проводять осі АВ та СD. З точки їх перетину радіусом ОС(половина малої осі овалу) проводять дугу до перетину з великою віссю овалу АВ у точці N. відновлюють перпендикуляр і продовжують його до перетину з великою і малою осями овалу в точках О1 і n. Відстань ОО1 відкладають по великій осі овалу вправо від точки, а відстань on від точки О відкладають по малій осі овалу вгору, отримують точки n1 і О2. Точки n і n1 є центрами верхньої дуги 12 і нижньої дуги 34 овалу, а точки О1 і О2 центрами дуг 13 і 24. Отримують шуканий овал.

Побудова завитків.

Завиток - плоска спіральна крива, що викреслюється циркулем шляхом поєднання дуг кіл.

Побудову завитків виконують при кресленні таких деталей, як пружини та спіральні напрямні.

Побудова овоїда.

Овоід - замкнута коробова крива, що має тільки одну вісь симетрії. Радіуси R та R1 дуг кіл, центри яких лежать на осі симетрії овоїда, не рівні один одному.

Побудова овоїда заданої осі АВ виконується в наступній послідовності.

Проводять коло діаметром, рівним осі АВ овоїда. З точок А і через точку О1(точка перетину кола радіуса R з віссю симетрії) проводять прямі. З точок А і В як з центрів, радіусом R2, рівним осі АB, проводять дуги An і Bm, а з центру О1 радіусом R1 проводять малу дугу овоїда nm.

Побудова завитків виконується з двох, трьох і більше центрів і залежить від форми та розмірів «вічка», який може бути колом, правильним трикутником, шестикутником тощо. Послідовність побудови завитка така.

Викреслюється в тонких лініях контур «вічка», наприклад, коло з діаметром О1О2. З точок О1 і О2, як із центрів, проводять дві сполучені між собою півкола. Верхня півколо О21 з центру О1, нижня півкола 12 з центру О2. Виходить шуканий завиток.

Лекальні криві.

При виконанні креслень часто доводиться вдаватися до креслення кривих, що складаються з низки сполучених частин, які неможливо провести циркулем. Такі криві будують зазвичай по ряду точок, що їм належать, які потім з'єднують плавною лінією спочатку від руки олівцем, а потім обводять за допомогою лекал.

Лікарські криві, що розглядаються, розташовуються в одній площині і називаються тому плоскими.

Лекальні криві широко застосовуються в машинобудуванні для контуру різних технічних деталей, наприклад: кронштейнів, ребер жорсткості, кулачків, зубчастих коліс, фасонного інструменту тощо.

До лекальних кривих відносять еліпс, параболу, гіперболу, циклоїду, епіциклоїду, евольвенту, синусоїду, спіраль Архімеда та ін.

Нижче розглянуті способи побудови кривих, що найчастіше зустрічаються в техніці.

Побудова еліпса.

Еліпс- замкнута плоска крива, сума відстаней кожної точки якої до двох даних точок (фокусів), що лежать на великій осі, є постійна величина і рівна довжині великої осі.

Широко застосовуваний у техніці спосіб побудови еліпса по великій (АВ) і малій (СD) осях.

Проводять дві перпендикулярні осьові лінії. Потім від центру Про відкладають вгору і вниз вертикальної осі відрізки, рівні довжині малої півосі, а вліво і вправо горизонтальної осі-відрізки, рівні довжині великої півосі.

З центру Про радіусами ОА та ОС проводять два концентричні кола та ряд променів-діаметрів. З точок перетину променів з кілами проводять лінії, паралельні осям еліпса, до взаємного перетину в точках, що належать еліпсу. Отримані точки з'єднують від руки та обводять по лекалу.

Побудова параболи.

Парабола - плоска крива, кожна точка якої рівновіддалена від директриси DD1 прямої, перпендикулярної до осі симетрії параболи, і від фокусу F-точки, розташованої на осі симетрії параболи.

Відстань KF між директрисою та фокусом називається параметром p параболи. Точка О, що лежить на осі симетрії, називається вершиною параболи і ділить параметр p навпіл.

Для побудови параболи за заданою величиною параметра p проводять вісь симетрії параболи (на малюнку вертикально) і відкладають відрізок KF = p. Через точку K перпендикулярно осі симетрії проводять директрису DD1. Відрізок KF ділять навпіл і отримують вершину параболи. Від вершини Про вниз на осі симетрії намічають ряд довільних точок I-IV з відстанню між ними, що поступово збільшується. Через ці точки проводять допоміжні прямі, перпендикулярні до осі симетрії. На допоміжних прямих з фокусу F роблять засічки радіусом, що дорівнює відстані від прямої до директриси. Наприклад, з точки F на допоміжній прямій, що проходить через точки V роблять засічку дугою R1=KV; отримана точка 5 належить параболі.

У станкобудуванні та інших галузях машинобудування часто застосовуються деталі, контурні контури яких виконані по параболі, наприклад, стійка та рукав радіально-свердлильного верстата.

Побудова синусоїди.

Синусоїда - плоска крива, що зображує зміну синуса в залежності від зміни кута.

Розмір L називається довжиною хвилі синусоїди, L=ПR.

Для побудови синусоїди проводять горизонтальну вісь і на ній відкладають задану довжину АВ (рис. 24). ; точки розподілу нумерують і через них проводять горизонтальні прямі. З точок поділу відрізка АВ відновлюють перпендикуляри до осі синусоїди і на їхньому перетині з горизонтальними прямими знаходять точки синусоїди.

Отримані точки синусоїди а1, а2, а3, ... з'єднують по лекалу кривою.

При виконанні креслень деталей або інструментів, поверхні яких окреслені синусоїдою, величину довжини хвилі АВ зазвичай вибирають незалежно від розміру амплітуди r. Наприклад, при кресленні шнека довжина хвилі L менше розміру 2Пr. Така синусоїда називається стиснутою. Якщо довжина хвилі більша за розмір 2Пr, то синусоїда називається витягнутою.

Побудова гіперболи.

Гіпербола - плоска крива, що складається з двох розімкнених, симетрично розташованих гілок (рис. 25). Різниця відстаней від кожної точки гіперболи до двох даних точок (фокусів F і F1) є постійна величина і дорівнює відстані між вершинами гіперболи А і В.

Розглянемо прийом побудови гіперболи за заданими вершинами А та В та фокусною відстанню FF1

Розділивши фокусну відстань FF1 навпіл, отримують точку О, від якої в обидві сторони відкладають по половині заданої відстані між вершинами А і В. Вниз від фокусу F намічають радий довільних точок 1,2,3,4...з відстанню між ними, що поступово збільшується. . З фокусу F описують дугу допоміжного кола радіусом R, рівним, наприклад, відстані від вершини гіперболи до точки 3. З фокусу F1 проводять другу дугу допоміжного кола радіусом r, рівним відстані від вершини А до точки 3. На перетині цих дуг на дуг і С1, що належать гіперболі. У такий же спосіб знаходять інші точки гіперболи.

Сполучення двох паралельних прямих

Задано дві паралельні прямі та на одній з них точка сполучення М(Рис. 2.19, а). Потрібно побудувати сполучення.

• 1) знаходять центр сполучення та радіус дуги (рис. 2.19, б). Для цього з точки Мвідновлюють перпендикуляр до перетину з прямою в точці N.Відрізок MNділять навпіл (див. рис. 2.7);
• 2) з точки Про– центру сполучення радіусом ОМ = ONописують дугу від точок сполучення Мі N(Рис. 2.19, в).

Мал. 2.19.

Дано коло з центром Проі точка А. Потрібно провести з точки Адотичну до кола.

1. Крапку Аз'єднують прямий із заданим центром Про коло.

Будують допоміжне коло діаметром, рівним ОА(Рис. 2.20, а). Щоб знайти центр Про 1, ділять відрізок ОАнавпіл (див. рис. 2.7).

2. Крапки Mі Nперетину допоміжного кола із заданим – шукані точки торкання. Крапку Аз'єднують прямими з точками Мабо N(Рис. 2.20, б). Пряма AMбуде перпендикулярна до прямої ОМ,так як кут АМОспирається на діаметр.

Мал. 2.20.

Проведення прямої, що стосується двох кіл

Дано два кола радіусів Rі R 1. Потрібно побудувати пряму, що стосується них.

Розрізняють два випадки торкання: зовнішній (рис. 2.21, б) та внутрішнє (рис. 2.21, в).

При зовнішньому торканнібудову виконують наступним чином:

• 1) із центру Пропроводять допоміжне коло радіусом, рівним різниці радіусів заданих кіл, тобто. R – R 1 (рис. 2.21, а). До цього кола з центру О1 проводять дотичну пряму Ο 1Ν. Побудова дотичної показано на рис. 2.20;
• 2) радіус, проведений з точки О в точку Ν, продовжують до перетину в точці Міз заданим колом радіусу R.Паралельно радіусу ОМпроводять радіус Ο 1Ρ меншого кола. Пряма, що з'єднує точки сполучення Мі Р,– дотична до заданих кіл (рис. 2.21, б).

Мал. 2.21.

При внутрішньому торканніпобудову проводять аналогічно, але допоміжне коло проводять радіусом, що дорівнює сумі радіусів. R+R 1 (рис. 2.21, в). Потім із центру Про 1 проводять дотичну до допоміжного кола (див. рис. 2.20). Крапку Nз'єднують радіусом із центром О.Паралельно радіусу ONпроводять радіус O1 Рменшого кола. Шукана дотична проходить через точки сполучення Мі Р.

Поєднання дуги і прямою дугою заданого радіусу

Дано дугу кола радіусу Rта пряма. Потрібно з'єднати їх дугою радіусу R 1.

• 1. Знаходять центр сполучення (рис. 2.22, а), який повинен перебувати на відстані R 1 від дуги та від прямої. Тому проводять допоміжну пряму, паралельну заданій прямій, на відстані, що дорівнює радіусу сполучної дуги R1) (рис. 2.22, а). Розчином циркуля, що дорівнює сумі заданих радіусів. R+R 1 описують з центру дугу до перетину з допоміжною прямою. Отримана точка О1 центр сполучення.
• 2. За загальним правилом знаходять точки сполучення (рис. 2.22, б): з'єднують прямий центри дуг, що сполучаються O1 і Про і опускають з центру сполучення Ο 1 перпендикуляр на задану пряму.
• 3. З центру сполучення Οχ між точками сполучення Μ і Ν проводять дугу, радіус якої R 1 (рис. 2.22, б).

Мал. 2.22.

Поєднання двох дуг дугою заданого радіусу

Дано дві дуги, радіуси яких R 1 та R 2. Потрібно побудувати пару дугою, радіус якої заданий.

Розрізняють три випадки торкання: зовнішній (рис. 2.23, а, б), внутрішнє (рис. 2.23, в) та змішане (див. рис. 2.25). У всіх випадках центри пар повинні бути розташовані від заданих дуг на відстані радіуса дуги сполучення.

Мал. 2.23.

Побудову виконують так:

Для зовнішнього торкання:

• 1) із центрів Ο 1 і О2 розчином циркуля, що дорівнює сумі радіусів заданої та сполучної дуг, проводять допоміжні дуги (рис. 2.23, а); радіус дуги, проведеної із центру Ο 1, дорівнює R 1 + R 3; а радіус дуги, проведеної з центру O2, дорівнює R 2 + R 3. На перетині допоміжних дуг розташований центр пари – точка O3;
• 2) з'єднавши прямими точку Ο1 з точкою 03 і точку O2 з точкою O3 знаходять точки сполучення Mі N(Рис. 2.23, б);
• 3) з точки 03 розчином циркуля, рівним R 3, між точками Μ і Ν описують сполучну дугу.

Для внутрішнього дотикувиконують самі побудови, але радіуси дуг беруть рівними різниці радіусів заданої і сполучної дуг, тобто. R 4 - R 1 та R 4 – R 2. Точки сполучення Рі Долежать на продовженні ліній, що з'єднують точку O4 з точками O1 та O2 (рис. 2.23, в).

Для змішаного (зовнішнього та внутрішнього) торкання(1-й випадок):

• 1) розчином циркуля, що дорівнює сумі радіусів R 1 та R 3 з точки O2, як з центру, проводять дугу (рис. 2.24, а);
• 2) розчином циркуля, рівним різниці радіусів R 2 та R 3 з точки O2 проводять другу дугу, що перетинається з першої в точці O3 (рис. 2.24, б);
• 3) з точки О1 проводять пряму лінію до точки O3, з другого центру (точка O2) проводять пряму через точку O3 до перетину з дугою в точці М(Рис. 2.24, в).

Точка O3 є центром сполучення, точки Мі N –точками сполучення;

4) поставивши ніжку циркуля в точку O3, радіусом R 3 проводять дугу між точками сполучення Μ і Ν (Рис. 2.24, г).

Мал. 2.24.

Для змішаного торкання(2-й випадок):

• 1) дві сполучні дуги кіл радіусів R 1 та R 2 (рис. 2.25);
• 2) відстань між центрами Про iта O2 цих двох дуг;
• 3) радіус R 3 сполучної дуги;

потрібно:

• 1) визначити положення центру O3 сполучної дуги;
• 2) знайти на сполучених дугах точки сполучення;
• 3) провести дугу сполучення

Послідовність побудови

Відкладають задані відстані між центрами Ο 1 та O2. Із центру Про 1 проводять допоміжну дугу радіусом рівним сумі радіусів дуги радіусу, що сполучається. R 1 і сполучної дуги радіусу R 3, а з центру O2 проводять другу допоміжну дугу радіусом, рівним різниці радіусів R 3 та R 2, до перетину з першою допоміжною дугою в точці O3, яка буде шуканим центром дуги, що сполучає (рис. 2.25).

Мал. 2.25.

Точки сполучення знаходять за загальним правилом, з'єднуючи прямими центрами дуг O3 та O1 , O 3 та O2. На перетині цих прямих з дугами відповідних кіл знаходять точки Мі N.

Лекальні криві

У техніці зустрічаються деталі, поверхні яких обмежені плоскими кривими: еліпсом, евольвентним колом, спіраллю Архімеда та ін. Такі криві лінії не можна викреслити циркулем.

Їх будують за точками, які з'єднують плавними лініями за допомогою лекал. Звідси назва лекальні криві.

Наведено на рис. 2.26. Кожна точка пряма, якщо її котити без ковзання по колу, описує евольвенту.

Мал. 2.26.

Робочі поверхні зубів більшості зубчастих коліс мають евольвентне зачеплення (рис. 2.27).

Мал. 2.27.

Спіраль Архімедазображено на рис. 2.28. Це плоска крива, яку описує точка, що рівномірно рухається від центру Пропо радіусу, що обертається.

Мал. 2.28.

По спіралі Архімеда нарізають канавку, до якої входять виступи кулачків самоцентруючого трикулачкового патрона токарного верстата (рис. 2.29). При обертанні конічної шестерні, на звороті якої нарізано спіральну канавку, кулачки стискаються.

За виконання цих (та інших) лекальних кривих на кресленні можна полегшення роботи користуватися довідником.

Розміри еліпса визначаються величиною його великої АВта малої CDосей (рис. 2.30). Описують два концентричні кола. Діаметр більшої дорівнює довжині еліпса (великої осі АВ), діаметр меншої – ширині еліпса (малої осі) CD). Ділять велике коло на рівні частини, наприклад на 12. Точки розподілу з'єднують прямими, що проходять через центр кіл. З точок перетину прямих з колами проводять лінії, паралельні до осей еліпса, як показано на малюнку. При взаємному перетині цих ліній одержують точки, що належать еліпсу, які, з'єднавши попередньо від руки тонкою плавною кривою, обводять за допомогою лекала.

Мал. 2.29.

Мал. 2.30.

Практичне застосування геометричних побудов

Дано завдання: виконати креслення ключа, показаного на рис. 2.31. Як це зробити?

Перш ніж починати креслити, проводять аналіз графічного складу зображення, щоб встановити, які випадки геометричних побудов необхідно застосувати. На рис. 2.31 показані ці побудови.

Мал. 2.31.

Щоб викреслити ключ, потрібно провести взаємно перпендикулярні прямі, описати кола, побудувати шестикутники, з'єднавши верхні та нижні вершини прямими, виконати сполучення дуг і прямих дугами заданого радіусу.

Яка послідовність цієї роботи?

Спочатку проводять лінії, становище яких визначено заданими розмірами і вимагає додаткових побудов (рис. 2.32, а), тобто. проводять осьові та центрові лінії, описують за заданими розмірами чотири кола і з'єднують кінці вертикальних діаметрів менших кіл прямоми лініями.

Мал. 2.32.

Подальша робота з виконання креслення вимагає застосування викладених у п. 2.2 та 2.3 геометричних побудов.

В даному випадку потрібно побудувати шестикутники і виконати пару дуг з прямими (рис. 2.32, б). Це буде другий етап роботи.

Зовнішнім сполученням вважається сполучення, при якому центри сполучених кіл (дуг) O 1 (радіус R 1) і O 2 (радіус R 2) розташовуються за сполучною дугою радіуса R. На прикладі розглянуто зовнішнє сполучення дуг (рис.5). Спочатку знаходимо центр поєднання. Центром сполучення є точка перетину дуг кіл з радіусами R+R 1 і R+R 2 побудованих з центрів кіл O 1 (R 1) і O 2 (R 2) відповідно. Потім центри кіл O 1 і O 2 з'єднуємо прямими з центром сполучення, точкою O, і на перетині ліній з колами O 1 і O 2 отримуємо точки сполучення A і B. Після цього, з центру сполучення будуємо дугу заданого радіусу сполучення R і з'єднуємо їй точки A та B.

Рисунок 5. Зовнішнє сполучення дуг кіл

Внутрішнє сполучення дуг кіл

Внутрішнім сполученням називається сполучення, при якому центри сполучених дуг O 1 , радіуса R 1 і O 2 , радіус R 2 , розташовуються всередині дуги, що сполучає заданого радіуса R. На рис.6 наведено приклад побудови внутрішнього сполучення кіл (дуг). Спочатку ми знаходимо центр сполучення, яким є точка O, точка перетину дуг кіл з радіусами R-R 1 і R-R 2 проведених з центрів кіл O 1 і O 2 відповідно. Після чого з'єднуємо центри кіл O 1 і O 2 прямими лініями з центром сполучення і на перетині ліній з колами O 1 і O 2 отримуємо точки сполучення A і B. Потім з центру сполучення будуємо дугу сполучення радіуса R і будуємо сполучення.

Малюнок 6. Внутрішнє сполучення дуг кіл

Малюнок 7. Змішане сполучення дуг кіл

Змішане сполучення дуг кіл

Змішаним сполученням дуг є сполучення, при якому центр однієї з дуг, що сполучаються (O 1) лежить за межами дуги, що сполучає їх, радіуса R, а центр іншого кола (O 2) - всередині її. На рис.7 наведено приклад змішаного поєднання кіл. Спочатку знаходимо центр сполучення, точку O. Для знаходження центру сполучення будуємо дуги кіл з радіусами R+ R 1 з центру окружності радіуса R 1 точки O 1 і R-R 2 з центру окружності радіуса R 2 точки O 2 . Після чого з'єднуємо центр сполучення точку O з центрами кіл O 1 і O 2 прямими і на перетині з лініями відповідних кіл отримуємо точки сполучення A і B. Потім будуємо сполучення.

Побудова кулачка

Побудова контуру кулачка в кожному варіанті слід починати з нанесення осей координат Охі Оу. Потім будують лекальні криві за заданими параметрами і виділяють ділянки, що входять в обрис кулачка. Після цього можна викреслити плавні переходи між лекальними кривими. При цьому слід врахувати, що у всіх варіантах через точку Dпроходить дотична до еліпсу.

Позначення Rxпоказує, що величина радіусу визначається побудовою. На кресленні замість Rxтреба проставити відповідне число зі знаком "*".

Лекальною називають криву, яку не можна збудувати за допомогою циркуля. Її будують по точках за допомогою спеціального інструменту, що називається лекалом. До лекальних кривих відносяться еліпс, парабола, гіпербола, спіраль Архімеда та ін.

Серед закономірних кривих найбільший інтерес для інженерної графіки представляють криві другого порядку: еліпс, парабола та гіпербола, за допомогою яких утворюються поверхні, що обмежують технічні деталі.

Еліпс- крива другого порядку. Одним із способів побудови еліпса є спосіб побудови еліпса за двома осями рис.8. При побудові проводимо кола радіусами r і R з одного центру Про і довільну сік ОА. З точок перетину 1 та 2 проводимо прямі, паралельні осям еліпса. На їхньому перетині відзначаємо точку М еліпса. Інші точки будуємо аналогічно.

Параболоюназивається плоска крива, кожна точка якої розташована на однаковій відстані від заданої прямої, що носить назву директриси, і точки, що називається фокусом параболи, розташованих у тій же площині.

На малюнку 9 наведено один із способів побудови параболи. Дані вершина параболи О, одна з точок параболи А та напрямок осі – ОС. На відрізку ОС і СА будують прямокутник, сторони цього прямокутника у завданні – А1 і В1, ділять на довільне однакове число рівних частин і нумерують точки розподілу 1, 2, 3, 4… 10. Вершину О з'єднують з точками розподілу на А1, а з точок поділу відрізка В1 проводять прямі паралельні осі ОС. Перетин прямих, що проходять через точки з однаковими номерами, визначають ряд точок параболи.

Синусоїдоюназивають плоску криву, що зображує зміну синуса в залежності від зміни його кута. Для побудови синусоїди (рис. 10) потрібно розділити коло на рівні частини та на таку ж кількість рівних частин розділити відрізок прямої АВ = 2лR. З однойменних точок поділу провести взаємно перпендикулярні лінії, у перетині яких отримують точки, що належать до синусоїди.

Малюнок 10. Побудова синусоїди

Евольвентоюназивають плоску криву, яка є траєкторією будь-якої точки прямої лінії, що перекочується по колу без ковзання. Побудову евольвенти виконують у порядку (рис.11): окружність ділять на рівні частини; проводять дотичні до кола, спрямовані в один бік і проходять через кожну точку поділу; на дотичній, проведеній через останню точку поділу кола, відкладають відрізок, що дорівнює довжині кола 2 л R, Що ділять на стільки ж рівних частин. На першій дотичній відкладають один поділ 2 л R/n, на другий - два і т.д.

Спіраль Архімеда- Плоска крива, яку описує точка, що рухається рівномірно-поступально від центру О по рівномірно обертається радіусу (рис.12).

Для побудови спіралі Архімеда задається крок спіралі - а, і центр О. З центру О описують коло радіусом Р = а (0-8). Поділяють коло на кілька рівних частин, наприклад, на вісім (точки 1, 2, …, 8). Так само частин ділять відрізок О8. З центру Про радіусами О1, О2 і т.д. проводять дуги кіл, точки перетину яких з відповідними радіусами-векторами належать спіралі (I, II, …, YIII)

Таблиця 2

Кулачок № варіанта R 1 R 2 R 3 d 1

Кулачок № варіанта R 1 R 2 R 3 d 1

Кулачок № варіанта R 1 R 2 R 3 d 1 y 1

Кулачок № варіанта R 1 R 2 R 3 d 1

Кулачок № варіанта S 1 a 1 b 1 y 1 R 1 R 2 R 3

Кулачок № варіанта R 1 R 2 R 3 d 1 y 1

Кулачок № варіанта R 1 R 2 R 3 a 1 b 1

Кулачок № варіанта R 1 R 2 R 3 a 1 b 1

Кулачок № варіанта R 1 R 2 R 3 d 1

Кулачок № варіанта R 1 R 2 R 3 d 1

Кулачок № варіанта R 1 R 2 R 3 d 1

Кулачок № варіанта R 1 R 2 R 3 d 1

Кулачок № варіанта R 1 R 2 R 3 d 1 y 1

Кулачок № варіанта R 1 R 2 R 3 d 1

Кулачок № варіанта S 1 a 1 b 1 y 1 R 1 R 2 R 3

Кулачок № варіанта R 1 R 2 R 3 d 1 y 1

Кулачок № варіанта R 1 R 2 R 3 a 1 b 1

Кулачок № варіанта R 1 R 2 R 3 a 1 b 1

Поєднання дуги і прямий дугою кола заданого радіусу

Можуть зустрітися два випадки такого сполучення: зовнішній торкання сполучної дуги із заданою та внутрішній торкання. В обох випадках завдання зводиться до визначення центру дуги, що сполучає, і точок торкання.

При зовнішньому торканні (рисунок 52, а) із центру заданої дуги – точки O 1 проводять допоміжну дугу радіусом R + R з . На відстані, що дорівнює радіусу R c сполучної дуги, паралельно заданої прямої проводять пряму. Крапка Про перетину допоміжної і прямої є центр сполучної дуги. На перетині прямої точки, що з'єднує точки Про і O 1 із заданою дугою, відзначають точку торкання A . Другу точку торкання У визначають як точку перетину заданої прямої з перпендикуляром, опущеним на неї з точки Про .

При внутрішньому торканні (рисунок 52 б) визначення центру сполучної дуги і точок торкання аналогічні попередньому випадку з тією лише різницею, що радіус допоміжної дуги дорівнює R c – R .

Малюнок 52

Розрізняють три види такого сполучення:

1) зовнішнє сполучення при зовнішньому торканні сполучної дуги з двома заданими;

2) внутрішнє сполучення при внутрішньому торканні сполучної дуги з двома заданими;

3) змішане сполучення при зовнішньому торканні сполучної дуги з однією заданою та внутрішньому торканні з іншого.

При зовнішньому поєднанні (рисунок 53, а) центр сполучної дуги точка O розташовується в точці перетину допоміжних дуг радіусами r + R c і R + R c , проведених відповідно з центрів дуг, що сполучаються – точок O 2 і O 1 . Крапки торкання A і B визначаються як точки перетину заданих дуг із прямими OO 1 і OO 2 .

Внутрішнє сполученнядуг радіусами r і R дугою радіусом R c показано малюнку 53, б. Для визначення центру сполучної дуги – точки Про проводять допоміжні дуги радіусами R c – r і R c – R відповідно із центрів заданих дуг – точок O 2 і O 1 . Крапка Про перетину цих дуг і з'явиться центром дуги, що сполучає. З точки Про через крапки O 1 і O 2 проводять прямі до перетину із заданими дугами та отримують відповідно дві точки дотику – A і B .

Малюнок 53

При змішаному поєднанні центр сполучної дуги – точка Про визначається як точка перетину двох допоміжних дуг радіусами. R c +R і R з – r (рисунок 53, в) або R з – R і R з + r , проведених відповідно до центрів заданих дуг – точок O 1 і O 2 . Для визначення точок торкання сполучної дуги із заданими проводять дві прямі: одну через крапки Про і O 1 , іншу через крапки Про і O 2 . Точки перетину кожної з них із заданими дугами дають шукані точки дотику. A і B .