Главная Стилисты Прямоугольный треугольник: понятие и свойства. Прямоугольный треугольник и его свойства

Прямоугольный треугольник: понятие и свойства. Прямоугольный треугольник и его свойства

Прямоугольный треугольник - треугольник, один угол которого прямой (равен 90 0). Следовательно, два других угла в сумме дают 90 0 .

Стороны прямоугольного треугольника

Сторона, которая располагается напротив угла в девяносто градусов, называется гипотенузой. Две другие стороны именуются катетами. Гипотенуза всегда длиннее, чем катеты, но короче их суммы.

Прямоугольный треугольник. Свойства треугольника

Если катет находится напротив угла в тридцать градусов, то его длина соответствует половине длины гипотенузы. Отсюда вытекает, что угол, противоположный катету, длина которого соответствует половине гипотенузы, равен тридцати градусам. Катет равняется среднему пропорциональному гипотенузы и проекции, которую дает катет на гипотенузу.

Теорема Пифагора

Любой прямоугольный треугольник подчиняется теореме Пифагора. Эта теорема гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Если принять, что катеты равны а и в, а гипотенуза - с, то запишем: а 2 +в 2 =с 2 . Теорема Пифагора применяется для решения всех геометрических задач, в которых фигурируют прямоугольные треугольники. Также она поможет начертить прямой угол при отсутствии необходимых инструментов.

Высота и медиана

Прямоугольный треугольник характеризуется тем, что две его высоты совмещаются с катетами. Чтобы найти третью сторону, нужно найти сумму проекций катетов на гипотенузу и разделить на два. Если из вершины прямого угла провести медиану, то она окажется радиусом окружности, которую описали вокруг треугольника. Центром этой окружности будет середина гипотенузы.

Прямоугольный треугольник. Площадь и ее вычисление

Площадь прямоугольных треугольников вычисляется по любой формуле нахождения площади треугольника. Помимо этого, можно использовать еще одну формулу: S=а*в/2, которая гласит, что для нахождения площади нужно произведение длин катетов разделить на два.

Косинус, синус и тангенс прямоугольного треугольника

Косинусом острого угла именуют отношение катета, прилегающего к углу, к гипотенузе. Он всегда меньше, чем единица. Синус - это отношение катета, который лежит напротив угла, к гипотенузе. Тангенс - отношение катета, лежащего против угла, к катету, прилегающему к этому углу. Котангенсом называют отношение катета, прилегающего к углу, к катету, находящемуся напротив угла. Косинус, синус, тангенс и котангенс не являются зависимыми от размеров треугольника. На их значение влияет только градусная мера угла.

Решение треугольника

Чтобы вычислить значение катета, противолежащего углу, нужно умножить длину гипотенузы на синус этого угла или размер второго катета на тангенс угла. Для нахождения катета, прилежащего к углу, необходимо посчитать произведение гипотенузы на косинус угла.

Равнобедренный прямоугольный треугольник

Если треугольник имеет прямой угол и равные катеты, то его называют равнобедренным прямоугольным треугольником. Острые углы такого треугольника тоже равны - по 45 0 . Медиана, биссектриса и высота, проведенные из прямого угла равнобедренного прямоугольного треугольника, совпадают.

Сторона a может быть идентифицирована как прилежащая к углу В и противолежащая углу A , а сторона b - как прилежащая к углу A и противолежащая углу В .

Типы прямоугольных треугольников

Если длины всех трёх сторон прямоугольного треугольника являются целыми числами, то треугольник называется пифагоровым треугольником , а длины его сторон образуют так называемую пифагорову тройку .

Свойства

Высота

Высота прямоугольного треугольника.

Тригонометрические соотношения

Пусть h и s (h >s ) сторонами двух квадратов, вписанных в прямоугольный треугольник с гипотенузой c . Тогда:

Периметр прямоугольного треугольника равен сумме радиусов вписанной и трёх описанных окружностей.

Примечания

Ссылки

Weisstein, Eric W. Right Triangle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
Wentworth G.A. A Text-Book of Geometry . - Ginn & Co., 1895.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Прямоугольный параллелепипед
Прямые затраты

Смотреть что такое "Прямоугольный треугольник" в других словарях:

прямоугольный треугольник - — Тематики нефтегазовая промышленность EN right triangle … Справочник технического переводчика

ТРЕУГОЛЬНИК - и (прост.) трёхугольник, треугольника, муж. 1. Геометрическая фигура, ограниченная тремя взаимно пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла (мат.). Тупоугольный треугольник. Остроугольный треугольник. Прямоугольный треугольник.… … Толковый словарь Ушакова

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ - ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ, прямоугольная, прямоугольное (геом.). Имеющий прямой угол (или прямые углы). Прямоугольный треугольник. Прямоугольные фигуры. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова

Треугольник - У этого термина существуют и другие значения, см. Треугольник (значения). Треугольник (в евклидовом пространстве) это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки. Три точки,… … Википедия

треугольник - ▲ многоугольник имеющий, три, угол треугольник простейший многоугольник; задается 3 точками, не лежащими на одной прямой. треугольный. остроугольник. остроугольный. прямоугольный треугольник: катет. гипотенуза. равнобедренный треугольник. ▼… … Идеографический словарь русского языка

ТРЕУГОЛЬНИК - ТРЕУГОЛЬНИК, а, муж. 1. Геометрическая фигура многоугольник с тремя углами, а также всякий предмет, устройство такой формы. Прямоугольный т. Деревянный т. (для черчения). Солдатский т. (солдатское письмо без конверта, свёрнутое уголком; разг.). 2 … Толковый словарь Ожегова

Треугольник (многоугольник) - Треугольники: 1 остроугольный, прямоугольный и тупоугольный; 2 правильный (равносторонний) и равнобедренный; 3 биссектрисы; 4 медианы и центр тяжести; 5 высоты; 6 ортоцентр; 7 средняя линия. ТРЕУГОЛЬНИК, многоугольник с 3 сторонами. Иногда под… … Иллюстрированный энциклопедический словарь

треугольник Энциклопедический словарь

треугольник - а; м. 1) а) Геометрическая фигура, ограниченная тремя пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла. Прямоугольный, равнобедренный треуго/льник. Вычислить площадь треугольника. б) отт. чего или с опр. Фигура или предмет такой формы.… … Словарь многих выражений

Треугольник - а; м. 1. Геометрическая фигура, ограниченная тремя пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла. Прямоугольный, равнобедренный т. Вычислить площадь треугольника. // чего или с опр. Фигура или предмет такой формы. Т. крыши. Т.… … Энциклопедический словарь

Решение геометрических задач требует огромного количества знаний. Одним из основополагающих определений этой науки является прямоугольный треугольник.

Под этим понятием подразумевается состоящая из трех углов и

сторон, причем величина одного из углов составляет 90 градусов. Стороны, составляющие прямой угол, носят названия катеты, третья же сторона, которая противолежит ему, носит название гипотенузы.

Если катеты в такой фигуре равны, она называется равнобедренный прямоугольный треугольник. В этом случае имеет место принадлежность к двум а значит, соблюдаются свойства обеих групп. Вспомним, что углы у основания равнобедренного треугольника абсолютно всегда равны, следовательно острые углы такой фигуры будут включать по 45 градусов.

Наличие одного из следующих свойств позволяет утверждать, что один прямоугольный треугольник равен другому:

катеты двух треугольников равны;
фигуры имеют одинаковые гипотенузу и один из катетов;
равны гипотенуза и любой из острых углов;
соблюдается условие равенства катета и острого угла.

Площадь прямоугольного треугольника с легкостью вычисляется как при помощи стандартных формул, так и как величина, равная половине произведения его катетов.

В прямоугольном треугольнике соблюдаются следующие соотношения:

катет есть не что иное, как среднее пропорциональное гипотенузы и его проекции на нее;
если описать около прямоугольного треугольника окружность, ее центр будет находиться в середине гипотенузы;
высота, проведенная из прямого угла, представляет собой среднее пропорциональное с проекциями катетов треугольника на его гипотенузу.

Интересным является то, что каким бы ни был прямоугольный треугольник, свойства эти всегда соблюдаются.

Теорема Пифагора

Помимо вышеназванных свойств для прямоугольных треугольников характерно соблюдение следующего условия:

Теорема эта носит название по имени ее основателя - теорема Пифагора. Он открыл это соотношение, когда занимался изучением свойств квадратов, построенных на

Для доказательства теоремы построим треугольник АВС, катеты у которого обозначим a и b, а гипотенузу с. Далее построим два квадрата. У одного стороной будет являться гипотенуза, у другого сумма двух катетов.

Тогда площадь первого квадрата можно будет найти двумя способами: как сумму площадей четырех треугольников АВС и второго квадрата, либо как квадрат стороны, естественно, что соотношения эти будут равны. То есть:

с 2 + 4 (ab/2) = (a + b) 2 , преобразуем получившееся выражение:

с 2 +2 ab = a 2 + b 2 + 2 ab

В итоге получаем: с 2 = a 2 + b 2

Таким образом, геометрическая фигура прямоугольный треугольник соответствует не только всем свойствам, характерным для треугольников. Наличие прямого угла ведет к тому, что фигура обладает другими уникальными соотношениями. Их изучение пригодится не только в науке, но и в повседневной жизни, так как такая фигура, как прямоугольный треугольник, встречается повсеместно.

Типы прямоугольных треугольников

Если длины всех трёх сторон прямоугольного треугольника являются целыми числами, то треугольник называется пифагоровым треугольником , а длины его сторон образуют так называемую пифагорову тройку .

Свойства

Высота

Высота прямоугольного треугольника.

Тригонометрические соотношения

Пусть h и s (h >s ) сторонами двух квадратов, вписанных в прямоугольный треугольник с гипотенузой c . Тогда:

Периметр прямоугольного треугольника равен сумме радиусов вписанной и трёх описанных окружностей.

Примечания

Ссылки

Weisstein, Eric W. Right Triangle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
Wentworth G.A. A Text-Book of Geometry . - Ginn & Co., 1895.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Прямоугольный треугольник" в других словарях:

И (прост.) трёхугольник, треугольника, муж. 1. Геометрическая фигура, ограниченная тремя взаимно пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла (мат.). Тупоугольный треугольник. Остроугольный треугольник. Прямоугольный треугольник.… … Толковый словарь Ушакова

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ, прямоугольная, прямоугольное (геом.). Имеющий прямой угол (или прямые углы). Прямоугольный треугольник. Прямоугольные фигуры. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова

У этого термина существуют и другие значения, см. Треугольник (значения). Треугольник (в евклидовом пространстве) это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки. Три точки,… … Википедия

ТРЕУГОЛЬНИК, а, муж. 1. Геометрическая фигура многоугольник с тремя углами, а также всякий предмет, устройство такой формы. Прямоугольный т. Деревянный т. (для черчения). Солдатский т. (солдатское письмо без конверта, свёрнутое уголком; разг.). 2 … Толковый словарь Ожегова

Энциклопедический словарь

А; м. 1. Геометрическая фигура, ограниченная тремя пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла. Прямоугольный, равнобедренный т. Вычислить площадь треугольника. // чего или с опр. Фигура или предмет такой формы. Т. крыши. Т.… … Энциклопедический словарь

Определение. Прямоугольный треугольник - треугольник, один из углов которого прямой (равен ).

Прямоугольный треугольник - частный случай обычного треугольника. Поэтому все свойства обычных треугольников для прямоугольных сохраняются. Но есть и некоторые частные свойства, обусловленные наличием прямого угла.

Общепринятые обозначения (рис.1):

- прямой угол ;

- гипотенуза ;

- катеты ;

Рис. 1.

С войства прямоугольного треугольника .

Свойство 1 . Сумма углов и прямоугольного треугольника равна .

Доказательство . Вспомним, что сумма углов любого треугольника равна . Учитывая тот факт, что , получаем, что сумма оставшихся двух углов равна То есть,

Свойство 2 . В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше любого из катетов (является самой большой стороной).

Доказательство . Вспомним, что в треугольнике против большего угла лежит большая сторона (и наоборот). Из доказанного выше свойства 1 следует, что сумма углов и прямоугольного треугольника равна . Так как угол треугольника не может равняться 0, то каждый из них меньше . Значит, является самым большим, а, значит, напротив него лежит наибольшая сторона треугольника. Значит, гипотенуза является наибольшей стороной прямоугольного треугольника, то есть: .

Свойство 3 . В прямоугольном треугольнике гипотенуза меньше суммы катетов.

Доказательство . Это свойство становится очевидным, если вспомнить неравенство треугольника .

Неравенство треугольника

В любом треугольнике сумма любых двух сторон больше третьей стороны.

Из данного неравенства сразу же следует свойство 3.

Примечание: несмотря на то, что каждый из катетов по отдельности меньше гипотенузы, их сумма оказывается больше. В числовом примере это выглядит так: , но .

в:

1-й признак (по 2 сторонам и углу между ними): если у треугольников равны две стороны и угол между ними, то такие треугольники равны между собой.

2-й признак (по стороне и двум прилежащим углам): если у треугольников равны сторона и два угла, прилежащие к данной стороне, то такие треугольники равны между собой.Примечание: пользуясь тем, что сумма углов треугольника постоянна и равна , легко доказать, что условие «прилежания» углов не является необходимым, то есть признак будет верен и в такой формулировке: «… равны сторона и два угла, то …».

3-й признак (по 3 сторонам): если у треугольников равны все три стороны, то такие треугольники равны между собой.

Естественно, все эти признаки остаются верными и для прямоугольных треугольников. Однако у прямоугольных треугольников есть одна существенная особенность - у них всегда есть пара равных прямых углов. Поэтому данные признаки для них упрощаются. Итак, сформулируем признаки равенства прямоугольных треугольников:

1-й признак (по двум катетам): если у прямоугольных треугольников катеты попарно равны, то такие треугольники равны между собой (Рис. 2).

Дано:

Рис. 2. Иллюстрация первого признака равенства прямоугольных треугольников

Доказать:

Доказательство: в прямоугольных треугольниках: . Значит, мы можем воспользоваться первым признаком равенства треугольников (по 2 сторонам и углу между ними) и получить: .

2-й признак (по катету и углу): если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны между собой (Рис. 3).

Дано:

Рис. 3. Иллюстрация второго признака равенства прямоугольных треугольников

Доказать:

Доказательство: сразу отметим, что тот факт, что равны углы, прилежащие к равным катетам, не является принципиальным. Действительно, сумма острых углов прямоугольного треугольника (по свойству 1) равна . Значит, если равна одна пара из этих углов, то равна и другая (так как их суммы одинаковы).

Доказательство же данного признака сводится к использованию второго признака равенства треугольников (по 2 углам и стороне). Действительно, по условию равны катеты и пара прилежащих к ним углов. Но вторая пара прилежащих к ним углов состоит из углов . Значит, мы можем воспользоваться вторым признаком равенства треугольников и получить: .

3-й признак (по гипотенузе и углу): если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны между собой (Рис. 4).

Дано:

Рис. 4. Иллюстрация третьего признака равенства прямоугольных треугольников

Доказать:

Доказательство: для доказательства этого признака можно сразу воспользоваться вторым признаком равенства треугольников - по стороне и двум углам (точнее, следствием, в котором указано, что углы не обязательно должны быть прилежащими к стороне). Действительно, по условию: , , а из свойств прямоугольных треугольников следует, что . Значит, мы можем воспользоваться вторым признаком равенства треугольников, и получить: .

4-й признак (по гипотенузе и катету): если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны соответственно гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны между собой (Рис. 5).

Дано:

Рис. 5. Иллюстрация четвёртого признака равенства прямоугольных треугольников

Доказать:

Доказательство: для доказательства этого признака воспользуемся признаком равенства треугольников, который мы сформулировали и доказали на прошлом уроке, а именно: если у треугольников равны две стороны и больший угол, то такие треугольники являются равными. Действительно, по условию у нас есть две равных стороны. Кроме того, по свойству прямоугольных треугольников: . Осталось доказать, что прямой угол является наибольшим в треугольнике. Предположим, что это не так, значит, должен быть ещё хотя бы один угол, который больше . Но тогда сумма углов треугольника уже будет больше . Но это невозможно, значит, такого угла в треугольнике быть не может. Значит, прямой угол является наибольшим в прямоугольным треугольнике. А значит, можно воспользоваться сформулированным выше признаком, и получить: .

Сформулируем теперь ещё одно свойство, характерное только для прямоугольных треугольников.

Свойство

Катет, лежащий против угла в , в 2 раза меньше гипотенузы (Рис. 6).

Дано:

Рис. 6.

Доказать: AB

Доказательство: выполним дополнительное построение: продлим прямую за точку на отрезок, равный . Получим точку . Так как углы и - смежные, то их сумма равна . Поскольку , то и угол .

Значит, прямоугольные треугольники (по двум катетам: - общий, - по построению) - первый признак равенства прямоугольных треугольников.

Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов. Значит, . Откуда: . Кроме того, (из равенства всё тех же треугольников). Значит, треугольник - равнобедренный (так как у него равны углы при основании), но равнобедренный треугольник, один из углов которого равен , - равносторонний. Из этого следует, в частности, что .

Свойство катета, лежащего против угла в

Стоит отметить, что верно и обратное утверждение: если в прямоугольном треугольнике гипотенуза в два раза больше одного из катетов, то острый угол, лежащий напротив этого катета, равен .

Примечание: признак означает, что если какое-то утверждение верно, то треугольник является прямоугольным. То есть признак позволяет идентифицировать прямоугольный треугольник.

Важно не путать признак со свойством - то есть, если треугольник прямоугольный, то у него есть такие свойства… Часто признаки и свойства являются взаимно обратными, но далеко не всегда. Например, свойство равностороннего треугольника: в равностороннем треугольнике есть угол . Но это не будет признаком равностороннего треугольника, так как не любой треугольник, у которого есть угол , является равносторонним.