Простые текстовые арифметические задачи (их классификация, примеры и способы решения)
Обобщение опыта.
Текстовые задачи в школьном курсе математики.
Арифметические способы решения задач.
Солдатова Светлана Анатольевна
учитель математики первой категории
МОУ Угличский физико-математический лицей
2017 г.
«…пока мы стараемся увязывать обучение математике с жизнью, нам будет трудно обойтись без текстовых задач – традиционного для отечественной методики средства обучения математике».
А.В.Шевкин
С термином «задача» мы постоянно сталкиваются в повседневной жизни. Каждый из нас решает те или иные проблемы, которые мы называем задачами. В широком смысле слова под задачей понимается некоторая ситуация, требующая исследования и решения человеком .
Задачи, в которых объекты - математические (доказательство теорем, вычислительные упражнения, свойства и признаки изучаемого математического понятия, геометрической фигуры), часто называют математическими задачами . Математические задачи, в которых есть хотя бы один объект, являющийся реальным предметом, принято называть текстовыми. В начальном обучении математике велика роль текстовых задач.
Решая текстовые задачи, учащиеся приобретают новые математические знания, готовятся к практической деятельности. Задачи способствуют развитию их логического мышления.
Существуют различные методы решения текстовых задач: арифметический, алгебраический, геометрический, логический, практический и т. д. В основе каждого метода лежат различные виды математических моделей. Например, при алгебраическом методе решения задачи составляются уравнения или неравенства, при геометрическом - строятся диаграммы или графики. Решение задачи логическим методом начинается с составления алгоритма.
Следует иметь в виду, что практически каждая задача в рамках выбранного метода допускает решение с помощью различных моделей. Так, используя алгебраический метод, ответ на требование одной и той же задачи можно получить, составив и решив совершенно разные уравнения, используя логический метод - построив разные алгоритмы. Ясно, что в этих случаях мы так же имеем дело с различными методами решения конкретной задачи, которые называю способы решения.
Решить задачу арифметическим методом - значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами. Одну и ту де задачу во многих случаях можно решить различными арифметическими способами. Задача считается решенной различными способами, если ее решения отличаются связями между данными и искомыми, положенными в основу решений, или последовательностью этих связей.
В традиционном российском школьном обучении математике текстовые задачи всегда занимали особое место. С одной стороны, практика применения текстовых задач в процессе обучения во всех цивилизованных государствах идет от глиняных табличек Древнего Вавилона и других древних письменных источников, то есть имеет родственные корни. С другой - пристальное внимание обучающих к текстовым задам, которое было характерно для России, - почти исключительно российский феномен.
Одной из причин большого внимания к задачам заключается в том, что исторически долгое время целью обучения детей арифметике было освоением ими определенным кругом вычислительных умений, связанных с практическими расчетами. При этом основная линия арифметики - линия числа - еще не была разработана, а обучение вычислениям велось через задачи.
Вторая причина повышенного внимания к использованию текстовых задач в России заключается в том, что в России не только переняли и развили старинный способ передачи с помощью текстовых задач математических знаний и приемов рассуждений, но и научились формировать с помощью задач важные общеучебные умения, связанные с анализом текста, выделением условий задачи и вопроса, составлением плана решения, постановкой вопроса и поиском условий, из которых можно получить на него ответ проверкой полученного результата.
К середине 50-х годов XX в. текстовые задачи были хорошо систематизированы, сложилась развитая типология задач, включавшая задачи на части, на нахождение двух чисел по их сумме и разности, по их отношению и сумме (разности), на дроби, на проценты, на совместную работу, на растворы и сплавы, на прямую и обратную пропорциональность и т. д.
К этому времени была хорошо разработана методика их применения в учебном процессе, но при проведении реформы математического образования конца 60-х годов отношение к ним изменилось. Пересматривая роль и место арифметики в системе школьных предметов, стремясь повысить научность изложения математики за счет более раннего введения уравнений и функций, математики и методисты-математики посчитали, что на обучение арифметическим способам решения задач тратится слишком много времени.
А ведь именно текстовые задачи и арифметические способы их решения готовят ребенка к овладению алгеброй. А когда это произойдет, то алгебра научит более простым, чем арифметические, способам решения некоторых (но не всех!) задач. Другие же арифметические способы решения так и останутся в активном багаже ученика. Например, если ученика учили делить число в данном отношении, то он и в старших классах не будет делить число 15 в отношении 2:3 с помощью уравнения, он выполнит арифметические действия:
1) ,
2) ,
3) 15 – 6 = 9.
Хочу отметить, что я являюсь представителем именно того поколения школьников, которые были участниками вышеуказанной реформы. Я пошла в школу в 1968 году, и мой учебник в первом классе назывался «Арифметика». Оказывается, мы были последние, кто по нему учился. Во втором классе для меня было удивительным и необычным то, что предмет, а соответственно и учебник, моих подружек-первоклассниц назывался «математика». В третьем классе и мы уже учились по «математике». В среднем звене, а соответственно в старших классах, основным способом решения текстовых задач являлся алгебраический. Влияние реформы конца 60-х я ощущаю по сей день, т.к. у родителей, принимающих участие в учебном процессе детей, в силу того, что у них выработался определённый стереотип, сформировалось мнение, что задачи нужно решать именно с помощью уравнений. Мамы и папы, не зная других приёмов, настойчиво пытаются дома объяснить по-своему, что не всегда приносит пользу, даже порой только усложняет работу учителя.
Ни в коем случае нельзя умалять ценность алгебраического способа решения задач, который является универсальным и порой единственным при решении более сложных задач. К тому же, довольно часто именно уравнение даёт подсказку для нахождения способа решения по действиям. Но практика показала, что раннее применение этого перспективного, с точки зрения дальнейшего использования в обучении, способа решения задач без достаточной подготовки малоэффективно.
В 5-6 классах арифметическому способу решения текстовых задач необходимо уделять максимальное внимания и не торопиться переходить к решению задач с помощью уравнения. Как только ученик научился алгебраическому способу, его практически невозможно вернуть к «решению по действиям». Составив уравнение, главное – правильно его решить, не допустить вычислительной ошибки. И совсем не нужно задумываться над тем, какие производятся арифметические действия по ходу решения, что находится в результате каждого действия. А если проследить по шагам решение уравнения, мы увидим те же действия, что в арифметическом способе.
Очень часто можно видеть, что ребенок не готов к решению задачи алгебраическим способом, когда вводится абстрактная переменную и появляется фраза «пусть икс…». Откуда взялся этот «икс», какие слова надо рядом с ним написать – на данном этапе ученику непонятно. И происходит это потому, что у детей такого возраста развито наглядно-образное мышление. А уравнение - абстрактная модель. Да и инструменты для решения уравнений у детей пятого, начала шестого класса отсутствуют. Исторически люди пришли к применению уравнений, обобщая решения задач, в которых приходилось оперировать такими понятиями как «часть», «куча» и т.п. Ребенок должен пройти тот же путь!
Для успешной работы важно, чтобы учитель имел глубокое представление о текстовой задаче, о ее структуре, умел решать такие задачи различными способами.
Много лет назад у меня в руках оказалось уже давно выпущенное пособие для учителей 5-8 классов (в современной школе – 5-9 классов) «Сборник московских математических олимпиад (с решениями)» 1967 г.в., автор которого - Галина Ивановна Зубелевич. Подавляющее большинство задач в нем решено арифметически, что меня очень заинтересовало. Позднее моё внимание привлекли два учебных пособия «Арифметика,6» , и «Арифметика,6» автор А.В. Шевкин, и пособие для учителя «Обучение решению текстовых задач в 5-6 классах» того же автора. Эти источники стали для меня началом работы над данной темой. Предложенные идеи мне показались очень актуальными и созвучными с моим пониманием заявленной темы, а именно:
1) отказ от использования уравнений на ранней стадии обучения и возвращение к более широкому применению арифметических способов решения задач;
2) более широкое использование «исторических» задач и Старинных способов их решения;
3) отказ от хаотичного предложения учащимся задач на разные темы и рассмотрение цепочки задач от самых простых, доступных всем учащимся, до сложных и очень сложных.
Типы текстовых задач по способу решения.
Текстовые задачи можно условно разделить на арифметические и алгебраические. Данное разделение обусловлено выбором способа решения, более характерного (рационального) для той или иной задачи.
Арифметические задачи таят в себе огромные возможности для того, чтобы научить школьников самостоятельно думать, анализируя неочевидные жизненные ситуации. Арифметика - самый короткий путь к пониманию природы, так как имеет дело с самыми простыми, самыми фундаментальными, экспериментальными фактами (например, что пересчёт
камней «по строкам» и «по столбцам» всегда приводит к одному
результату):
5+5+5 = 3+3+3+3+3.
Рассмотрим некоторые виды задач.
«Куплено на одинаковую сумму два сорта товара, первого сорта вдвое меньше, чем второго. Их смешали и продали половину смеси по цене высшего, остальное - по цене низшего сорта. Сколько процентов прибыли или убытка получено при продаже?»
Это, по существу, типичная задача, решающаяся введением произвольных единиц меры. Однако и при этом условии необходимое для решения оперирование неизвестными величинами носит здесь отчётливо выраженный алгебраический характер. Наряду с этим часто встречаются задачи, в которых, наоборот, арифметический путь решения значительно проще алгебраического. Это может зависеть от двух причин. В одних случаях переход от известного к неизвестному настолько прост, что составление уравнений (переход от неизвестного к известному) внесло бы ненужную громоздкость, замедляющую процесс решения. Такова, например, следующая задача:
«Однажды Черт предложил Бездельнику заработать. - Как только ты перейдёшь через этот мост, - сказал он – деньги удвоятся. Можешь переходить по нему сколько хочешь раз, но после каждого перехода отдавай мне за это 24 копейки. Бездельник согласился и … после третьего перехода остался без гроша. Сколько денег было у него сначала?»
Вторая - классическая задача, интересная парадоксальностью формулировки условия. Этапы «синтетического» решения развёртываются в ней, как и в предыдущей задаче, в порядке, противоположном ходу описанных событий.
«Торговка яйцами продала первому покупателю половину всего числа имевшихся в её корзине яиц и ещё пол-яйца; второму покупателю - половину остатка и ещё пол-яйца, третьему - половину остатка и ещё пол-яйца, после чего у неё ничего не осталось. Сколько яиц было в корзине в начале?»
В других случаях составление уравнения требует проведения такого рассуждения, которое само по себе достаточно для достижения цели. Это-арифметические задачи в полном смысле этого слова: алгебраическое их решение не легче, а труднее и обычно сопряжено с введением лишних неизвестных, которые потом приходится исключать, и т.п.
Так, если, например, в задаче «Таня сказала: у меня на 3 брата больше, чем сестёр. На сколько в Таниной семье братьев больше, чем сестёр?» обозначить число братьев через x, число сестёр через y, то уравнение будет x − (y − 1) = 3, но если мы уже догадались, что надо написать y−1 (сестра сама себя не считала), то и так ясно, что братьев не на 3, а только на 2 больше, чем сестёр.
Приведём ещё несколько примеров.
«Я грёб вверх по течению и, проезжая под мостом, потерял шляпу. Через 10 мин я это заметил и, повернув и гребя с той же силой, нагнал шляпу в 1 км ниже моста. Какова скорость течения реки?»
Решение: 1 (60:(10+10))=3(км/ч)
«К моему приезду на станцию за мной обычно высылали машину. Приехав однажды на час раньше, я пошёл пешком и, встретив посланную за мной машину, прибыл с ней на место на 10 мин раньше обычного срока. Во сколько раз машина идёт быстрее, чем я пешком?»
Рассмотрим решение данной задачи по действиям:
1) 10:2=5 (мин) – время, которое оставалось машине для приезда на станцию в срок от места встречи.
2) 60-5=55 (мин) - время, которое затратил пешеход на то же расстояние.
3) 55:5=11(раз) машина едет быстрее.
«Чтобы проплыть некоторое расстояние по течению на лодке, требуется времени втрое меньше, чем против течения. Во сколько раз скорость движения лодки больше скорости течения?»
В этой задаче надо догадаться перейти от времени к расстояниям.
Это очень хорошие арифметические задачи: они требуют ясного представления о соответствующей конкретной ситуации, а не действий по заученным формальным образцам.
Вот ещё пример арифметической задачи, для решения которой не надо производить никаких «действий»:
« Какой-то озорник из бутылки с дегтем перелил ложку дегтя в банку с медом. Перемешал тщательно, а затем такую же ложку смеси перелил из банки в бутылку с дегтем. Затем он проделал это ещё раз. Чего получилось больше: меда в бутылке с дегтем или дегтя в банке с медом? »
Для решения задачи достаточно задать себе вопрос: куда девался из бутылки дёготь, который был вытеснен мёдом?
Это не алгебра, не приведение подобных членов и не «перенесение из одной части в другую с обратным знаком». Это как раз та логика, связанная с воображаемыми, но имеющими в области изучаемых величин вполне реальное значение операциями, развитие и совершенствование которой входит в прямые задачи арифметики.
Разграничения между арифметическими и алгебраическими по своему характеру задачами являются как бы несколько размытыми, так как они зависят от количественных признаков, в оценке которых можно расходиться, подобно тому как нельзя провести грань между «несколькими зёрнами» и «кучей зёрен».
Остановимся подробнее на видах текстовых задач и способах их решения. Рассмотрим те задачи, которые многие склонны решать с помощью уравнений, а они при этом имеют простые и порой очень красивые решения по действиям.
1. Нахождение задач по их кратному отношению и сумме или разности (на «части»).
Знакомство с такими задачами надо начинать с тех, где речь идёт о частях в чистом виде. При их решении создаётся основа для решения задач на нахождение двух чисел по их отношению и сумме (разности). Учащиеся должны научиться принимать подходящую величину за 1 часть, определять, сколько таких частей приходиться на другую величину, на их сумму (разность).
а) Для варенья на 2 части клубники берут 3 части сахара. Сколько сахара нужно взять на 3 кг клубники?
б) Купили 2700 г сухофруктов. Яблоки составляют 4 части, груши – 3 части, сливы – 2 части. Сколько граммов яблок, груш и слив в отдельности?
в) Девочка прочитала в 3 раза меньше страниц, чем ей осталось. Сколько страниц в книге, если она прочитала на 42 страницы меньше?
Решение данной задачи желательно начинать с чертежа:
1) – приходиться на 42 страницы.
2) – 1 часть, или столько страниц прочитала девочка.
3) – в книге.
В дальнейшем ученики смогут решать и более сложные задачи.
в) Задача С.А. Рачинского. Я провел год в Москве, в деревне и в дороге - и притом в Москве в 8 раз больше времени, чем в дороге, а в деревне в 8 раз более, чем в Москве. Сколько дней я провел в дороге, в Москве и в деревне?
г) При уборке урожая в совхозе ученики собрали помидоров в 2 раза больше, чем огурцов, и в 3 раза меньше, чем картофеля. Сколько овощей в отдельности собрали ученики, если картофеля было собрано на 200 кг больше, чем помидоров?
д) Говорит дед внукам: «Вот вам 130 орехов. Разделите их на 2 части так, чтобы меньшая часть, увеличенная в 4 раза, равнялась бы большей части, уменьшенной в 3 раза».
е) Сумма двух чисел 37,75. Если первое слагаемое увеличить в 5 раз, а второе слагаемое – в 3 раза, то новая сумма окажется равной 154,25. Найти эти числа.
Задачи на делении числа в данном отношении относятся к данному типу.
2. Нахождение двух чисел по их сумме и разности.
а) В двух пачках 50 тетрадей, причём в первой пачке на 8 тетрадей больше. Сколько тетрадей в каждой пачке?
Решение задач такого вида я обязательно начинаю с чертежа. Затем предлагаю уравнять величины. Ребята предлагают два способа: убрать из первой пачки или добавить во вторую. Так определяются основные два способа: через удвоенное меньшее число или удвоенное большее число.
Когда эти способы будут отработаны, уместно показать «старинный» способ решения задач такого вида. После вопроса «Каким образом можно уравнять стопки тетрадей, и при этом общее количество тетрадей не изменилось?» учащиеся догадываются, как это сделать, и делают вывод: чтобы найти меньшее число, надо из полусуммы вычесть полуразность, а, чтобы найти большее число, надо к полусумме прибавить полуразность. Сильные учащиеся могут обосновать этот способ с помощью преобразования буквенных выражений:
С применением данного способа следующая задача решается в одно действие:
б) Среднее арифметическое двух чисел равно 3, а их полуразность равна 1. Какова величина меньшего числа?
– меньшее число.
Приём уравнивания применим и в задаче:
в) 8 телят и 5 овец съели 835 кг корма. За это время каждому телёнку дали на 28 кг корма больше, чем овце. Сколько корма съел каждый телёнок и каждая овца?
3. Задачи на «предположение».
Задачи такого типа связаны с предполагаемыми действиями с предметами и величинами. В традиционной методике задачи такого типа имели и другие названия по наиболее известным задачам: на «синее и красное сукно», на «смешение ΙΙ рода». Думаю, что самой известной среди задач на «предположение» является старинная китайская задача.
а) В клетке сидят фазаны и кролики. Известно, что у них 35 голов и 94 ноги. Узнать число фазанов и число кроликов.
Представьте, что в клетке сидят только фазаны. Сколько у них ног?
Почему ног меньше? (Не все фазаны, среди них есть кролики). На сколько ног больше?
Если одного фазана заменить на кролика, то на сколько увеличится число ног? (На 2)
Можно выбрать другой способ, представив, что все кролики.
Очень интересно другое рассуждение, данное старыми мастерами методики математики и вызывающее у детей большой интерес.
-
Представим, что на верх клетки, в которой
сидят фазаны и кролики, мы положили
морковку. Все кролики встанут на задние
лапки, чтобы дотянуться до морковки.
Сколько ног в этот момент будет стоять
на земле?
2·35=
70(н.)
-
Но в условии задачи даны 94 ноги, где же
остальные?
- Остальные не посчитаны - это передние лапы кроликов.
-
Сколько их?
94
– 70 = 24(н.)
-
Сколько же кроликов?
24:2
= 12
А
фазанов?
35
– 12 = 23
Усвоив алгоритм рассуждения, ребята легко решают и следующие задачи:
б) Смешали 135 фунтов чая двух сортов общей стоимостью 540р. Сколько фунтов того и другого сорта в отдельности взяли, если фунт первого сорта стоил 5р., а фунт второго сорта стоил 3р.?
в) На 94р. купили 35 аршин синего и красного сукна. За аршин синего сукна платили по 2р., а за аршин красного сукна платили по 4р. Сколько аршин того и другого сукна в отдельности купили?
г) Хозяин купил 112 баранов старых и молодых и заплатил 49р. 20 алтын. За старого барана он платил по 15 алтын и по 4 полушки, а за молодого барана по 10 алтын. Сколько и каких баранов было куплено? Алтын – 3 копейки, полушка – четверть копейки.
Интересной мне показалась задача из статьи И.В. Арнольда «Принципы отбора и составления арифметических задач» (1946г.) про вагоны:
д) «Проезжая мимо станции, я заметил стоящий на станции товарный поезд из 31 вагона и услышал разговор смазчика со сцепщиком. Первый сказал: „105 осей всего пришлось проверить“. Второй заметил, что в составе много четырёхосных вагонов-втрое больше, чем двухосных, остальные трёхосные. На следующем перегоне я захотел, от нечего делать, подсчитать, сколько каких вагонов было в этом составе. Как это сделать?»
Арифметическое решение - проще алгебраического и требует отчётливого представления о том, что двухосные и четырёхосные входят в состав (в количественном отношении) определенными группами (по 4 вагона). Воображаемая «замена» всех вагонов трёхосными- обычный и уже хорошо знакомый учащимся приём.
Вспомогательным средством может служить графическое линейное отображение условий задачи.
4. Задачи на движение.
Данные задачи являются традиционно трудными. У учащихся должны быть хорошо сформированы такие понятия как скорость сближения и скорость удаления. Когда ученики научатся решать такие задачи с помощью уравнения, им будет гораздо проще добраться до ответа. Но легче - не значит полезнее. Много лет назад один мой ученик, довольно-таки сильный в математике, на уроке увлечённо искал арифметический способ решения задачи, в то время, когда весь класс её решил с помощью уравнения. Я хорошо запомнила его слова, очень мне понятные: «А мне не интересно уравнением».
Приведу условия и решение нескольких задач.
а) Старинная задача. Из Москвы в Тверь вышли одновременно два поезда. Первый проходил в час 39 вёрст и прибыл в Тверь двумя часами раньше второго, который проходил в час 26 вёрст. Сколько вёрст от Москвы до Твери?
Решение:
1) на столько отстал второй поезд.
2) – скорость удаления.
3) был в пути первый поезд.
4) расстояние от Москвы до Твери .
б) Два самолёта вылетели одновременно из Москвы в одном и том же направлении: один – со скоростью 350 км/ч, другой – со скоростью 280 км/ч. Через два часа первый уменьшил скорость до 230 км/ч. На каком расстоянии от Москвы второй самолёт догонит первый?
Решение:
1) скорость удаления.
2) – на столько отстал второй самолёт.
3) скорость сближения.
4) столько времени потребуется, чтобы второй самолёт догнал первый.
5) (км) – на таком расстоянии до Москвы второй самолёт догонит первый.
в) Из двух городов, расстояние между которыми 560 км, вышли два автомобиля навстречу друг другу и встретились через 4 часа. Если скорость первого автомобиля уменьшить на 15%, а скорость второго увеличить на 20%, то встреча произойдёт тоже через 4 ч. Найти скорость каждого автомобиля.
Решение:
Примем за 100% или за 1 скорость первого автомобиля.
1) скорость сближения.
2) – составляет скорость второго от скорости первого.
3) приходится на скорость сближения.
4) скорость первого автомобиля.
5) скорость второго автомобиля .
г) Поезд за четверть минуты проходит мимо телеграфного столба, а за 50 с – мост длиною 0,7 км. Вычислить среднюю скорость движения поезда и его длину.
Решение: При решении данной задачи учащиеся должны понять, что, пройти мост – пройти путь, равный длине моста и длине состава, пройти мимо телеграфного столба – пройти путь, равный длине состава.
1) поезд проходит путь, равный длине моста.
2) – скорость поезда.
3) длина поезда.
д) На прохождение пути между двумя пристанями пароходу необходимо на 40 мин больше, чем катеру. Скорость катера 40 км/ч, а парохода – 30 км/ч. Найти расстояние между пристанями.
Решение: 40 мин ч
1) отставание парохода.
2) – скорость удаления
2) – был в пути катер.
3) расстояние между пристанями.
Это лишь несколько задач на движения из их огромного многообразия. На их примере я хотела показать, как можно обойтись без уравнений, пока умения их решать у учащихся не сформированы. Естественно, такие задачи под силу сильным ученикам, но это большая возможность для их математического развития.
5. Задачи на «бассейны».
Это ещё один тип задач, вызывающий и интерес, и трудности у детей. Его можно назвать и задачами на совместную работу, к ним относится и часть задач на движение.
Название данного типа даёт не без известная старинная задача:
а) В городе Афинах был водоём, в который проведены 3 трубы. Одна из труб может наполнить бассейн в 1ч, другая, более тонкая, в 2 ч, третья, ещё более тонкая, в 3ч. Итак, узнай, за какую часть часа все три трубы вместе наполнят бассейн?
Решение:
1) (в./ч) – скорость заполнения через ΙΙ трубу трубу.
2) (в./ч) – скорость заполнения через ΙΙΙ трубу.
3) (в./ч) – общая скорость.
4) (ч) – заполнят водоём 3 трубы.
Можно предложить детям ещё одно интересное решение:
За 6 часов через Ι трубу заполняется 6 водоёмов, через ΙΙ трубу – 3 водоёма, через ΙΙΙ трубу – 2 водоёма. Все трубы за 6 ч заполнят 11 водоёмов, соответственно на заполнение одного водоёма потребуется ч.
Аналогичное решение имеет следующая задача:
б) Лев съел овцу одни часом, а волк съел овцу за два часа, а пёс съел овцу в три часа. Сколько бы они скоро, все три – лев, волк и пёс – ту овцу съели, сочти. (Математические рукописи 17 века).
в) Один человек выпьет кадь пития за 14 дней, а со женою выпьет туже кадь за 10 дней, и ведательно есть, в колико дней жена его особо выпьет ту же кадь. (из «Арифметики» Магницкого)
Решение:
1) (ч) – выпивают в день вместе.
) (ч) – выпивает в день муж.
3) (ч) – выпивает в день жена.
4) (д.) – потребуется жене, чтобы выпить кадь пития.
г) Старинная задача. Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней. Дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетают одновременно. Через сколько дней они встретятся? (решение аналогичное)
д) Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Они встретились через 40 мин после выхода, а через 32 мин после встречи первый пришёл в В. Через сколько часов после выхода из В второй пришёл в А? (ч) - будут работать вместе.
7) – потребуется для разгрузки баржи.
6. Задача Ньютона.
Особый интерес у ребят вызывает задача о коровах, поедающих траву. Задача впервые была опубликована во «Всеобщей арифметике» И. Ньютона, но с той поры она не утратила своей актуальности и является одной из красивых арифметических задач, которую хотя и можно решить составлением уравнения, но намного красивее – сделать это с помощью последовательных рассуждений. Мне приходилось наблюдать, как над ней ломают голову старшеклассники, вводя несколько переменных, и в то же время легко разбираются в решении пятиклассники, если им подсказать идею решения.
7) (п.) – буде съедено в день, а это и есть количество коров.
Ответ: 20 коров.
В данной работе приведены примеры и разобраны лишь некоторые из огромного количества текстовых задач.
В завершении хотелось бы отметить, что необходимо приветствовать различные способы решения задач. Именно решение задач разными способами – чрезвычайно увлекательное занятие для учащихся различных возрастных групп. Интерес, любопытство, творчество, желание добиться успеха – это привлекательные стороны деятельности. Если ученик справляется с текстовыми задачами на уроках математики, то есть может проследить и пояснить логическую цепочку своего решения, дать характеристику всех величин, то он также успешно может решать задачи по физике и химии, он умеет сравнивать и анализировать, преобразовывать информацию на всех учебных предметах школьного курса.
Литература.
1. Арнольд И.В. Принципы отбора и составления арифметических задач // Известия АПН РСФСР. 1946. - Вып. 6 - С. 8-28.
2. Зубелевич Г. И. Сборник задач московских математических олимпиад. – М.: Просвещение, 1971.
3. Шевкин А. В. Обучение решению текстовых задач в 5-6 классах. – М.: Галс плюс,1998.
4 . Шевкин А.В. Материалы курса «Текстовые задачи в школьном курсе математики»: Лекции 1-4. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2006. 88 с.
Дистанционное обучение педагогов по ФГОС по низким ценам
Вебинары , курсы повышения квалификации , профессиональная переподготовка и профессиональное обучение . Низкие цены. Более 7900 образовательных программ. Диплом госудаственного образца для курсов, переподготовки и профобучения. Сертификат за участие в вебинарах. Бесплатные вебинары. Лицензия.
§ 1 Способы решения текстовых задач
Существует несколько способов решения текстовых задач:
· арифметический способ - это способ решения текстовой задачи с помощью чисели знаков арифметических действий сложения, вычитания, умножения и деления, то есть с помощью нескольких действий над числами, связанных между собой;
· алгебраический способ - это способ решения текстовой задачи с помощьювведения переменных и составления соответствующего уравнения или неравенства, или системы уравнений или неравенств;
· геометрический способ - это способ решения текстовой задачи с помощью применения геометрических знаний;
· схематический способ - это способ решения текстовой задачи с помощью схем;
· графический способ - это способ решения текстовой задачи с помощью графиков в прямоугольной системе координат.
Каждый из этих способов предполагает перевод условий задачи на язык математики. Это действие математики называют математическим моделированием. Результат этого действия называют математической моделью. При применении различных способов решения получаются различные математические модели. В арифметическом способе математической моделью является числовое выражение, то есть числовой пример с несколькими действиями, а конечный результат вычислений будет решением задачи. В алгебраическом способе математической моделью чаще всего является уравнение, а решение уравнения даёт решение задачи. В геометрическом способе математической моделью может выступать геометрическая фигура, а решение задачи - например, один из найденных элементов этой фигуры. В схематическом способе математической моделью является схема, с помощью которой находят решение задачи. В графическом способе математической моделью является график, построенный по условию задачи. При этом способе решением задачи могут быть координаты определённых точек графиков.
§ 2 Пример решения текстовой задачи арифметическим способом
В этом уроке более подробно рассмотрим арифметический способ решения задачи.
Решить задачу арифметическим способом - это значит найти ответ на главный вопрос задачи посредством выполнения арифметических действий над числовыми данными из условия задачи. Одну и ту же задачу можно решить различными арифметическими способами. Они отличаются друг от друга количеством действий и последовательностью выполнения этих действий в процессе решения задачи.
Например. Рассмотрим следующую задачу. Три друга Саша, Коля и Витя собирали в лесу грибы. Коля собрал в 2 раза меньше грибов, чем Саша, Витя - на 6 грибов больше, чем Коля. Сколько грибов собрали три друга вместе, если Саша собрал 22 гриба?
Помогает определить правильный ход логических рассуждений краткая запись условий задачи в форме таблицы.
Решим эту задачу по действиям или так называемым способом решения задач по вопросам. Для начала ответим на первый вопрос «Сколько грибов собрал Коля?».
По условию задачи «Коля собрал в 2 раза меньше грибов, чем Саша», значит, чтобы ответить на вопрос, надо 22 разделить на 2. В результате получилось, что Коля собрал 11 грибов. (22:2=11(грибов) - собрал Коля).
Следующим действием ответим на второй вопрос задачи «Сколько грибов собрал Витя?». По условию задачи «Витя собрал на 6 грибов больше, чем Коля», значит, для ответа на вопрос надо к 11-ти прибавить 6. В результате получилось, что Витя собрал 17 грибов.
22+22:2+(22:2+6)=50 грибов собрали три друга вместе.
Умение решать задачи арифметическим способом с помощью числовых выражений говорит о более высоком уровне математической подготовки по сравнению с умением решать текстовые задачи по действиям.
Список использованной литературы:
- Г.Н. Тимофеев Математика для поступающих в вузы. Учебное пособие. Текстовые задачи.– Йошкар-Ола: Мар. гос. ун-т, 2006г.
- В. Булынин Применение графических методов при решении текстовых задач. – Еженедельная учебно-методическая газета «Математика», №14, 2005г.
- Н.И. Попов, А.Н. Марасанов Задачи на составление уравнений. Учебное пособие. Йошкар-Ола: Мар. гос. ун-т, 2003г.
- Н.А. Зарипова Программа элективного курса "Текстовые задачи". http://festival.1september.ru/articles/310281/
- Н.А. Зарипова Методика решения задач группы vts. Материалы к проведению элективного курса "Решение текстовых задач" http://festival.1september.ru/articles/415044/
Использованные изображения:
Cтраница 1
Арифметический метод - сумма амортизационных отчислений ежегодно уменьшается по арифметическому ряду.
Арифметический метод контроля включает подсчет контрольных сумм по строкам и столбцам документов, имеющих табличную форму, контроль по формулам, признакам делимости или четности, балансовые методы, повторный ввод и т.п. Для предотвращения случайного или намеренного искажения информации служат и организационные, и специальные мероприятия.
Арифметический метод решения задачи является чисто синтетическим: от одного известного факта он переходит к другому до тех пор, пока желанная цель не будет достигнута. Алгебраический же метод решения по своей природе аналитический: он начинает с конца и, обозначив цель поиска условным символом, устремляется к началу и влечет за собой свою жертву-инкогнито до тех пор, пока не выходит на ослепительный свет известных фактов, срывает с нее маску и говорит: Я тебя знаю.
Примером использования арифметических методов для решения сравнительно сложных математических задач может служить численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Аналитическим решением дифференциального уравнения является уравнение, выражающее зависимую переменную в виде функции от независимой переменной; численное же решение представляется в виде таблицы, включающей значения независимой переменной и соответствующие значения зависимой переменной в требуемом диапазоне.
Подобные задачи арифметическим методом уже решались учащимися на уроках математики, что и следует использовать, особенно в начале изучения темы. Заканчивается раздел решением задач с использованием понятия о средней скорости движения.
Простые проблемы можно решать с помощью арифметических методов, по мере усложнения проблем для их решения должны использоваться более сложные методы: регрессия, матричная алгебра, дифференциальные уравнения. За некоторой границей сложности математическую обработку данных нецелесообразно или вообще невозможно вести вручную - ее необходимо производить на ЭВМ. Роль человека при этом коренным образом меняется. Не участвуя в прямых вычислениях, человек занят в этом случае вопросами определения структуры решения проблемы вводом исходных данных и рассмотрением полученных результатов.
Иногда считают, что отличительная черта арифметического метода - отсутствие буквенных выражений. Дело как раз не в буквенных выражениях, а в том, что при этом методе не составляют и не решают уравнений.
Арифметический метод хотя и обладает несколько меньшей точностью по сравнению с графическим, но зато более простой и удобный в практической работе.
Здесь решаются задачи на составление кинематическ. Для решения этих задач применяется преимущественно формальный арифметический метод подсчета числа переменных параметров и условий связи, к-рыми определяется движение механизма.
Результаты октав-ного анализа шума наносят на график нормировочных кривых шума, и наибольший номер кривой, превышенный уровнем шум-а в одной или нескольких октавных полосах, считается нормировочным индексом шума. Существует также арифметический метод нахождения этого индекса. В широкой практике предпочитают пользоваться оценкой шу-ч ма в дБА как более адекватной.
В том же гармоническом осцилляторе, например, если сила пружины не будет пропорциональна отклонению от положения равновесия, а окажется несколько сложнее, мы уже не сможем ничего поделать и вынуждены обращаться к численному расчету. Интересно, что, пока люди поняли ограниченные возможности математического анализа и необходимость использования числовых методов, потребовалось немало времени. Сейчас с помощью этих методов решается огромное количество задач, которые не могли быть решены аналитически. Однако имеются ситуации, когда оба метода оказываются бессильны: простые задачи решаются аналитически, а задачи посложнее - числовым арифметическим методом, но очень сложные задачи невозможно решить ни так, ни этак. Солнца, собрано громадное количество звезд. Эти проблемы нельзя решить прямыми методами, и нужно изыскать какие-то другие пути.
Его метод состоит в расположении сообщений длины N в порядке убывающих вероятностей. Этот ряд делится на две группы, по возможности с равными вероятностями. Если сообщение относится к первой группе, его первая двоичная цифра будет 0, в противном случае - единица. Эти группы аналогичным образом делятся на подгруппы примерно равной вероятности, и частная подгруппа определяет второй двоичный знак. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не получатся подгруппы, содержащие только по одному сообщению. Легко видеть, что, за исключением незначительных отличий (в общем случае в последней цифре), это приводит к тем же результатам, что и при описанном выше арифметическом методе.
Страницы: 1
Cтраница 1
Арифметическое решение довольно запутанное, но задача решается просто, если обратиться к услугам алгебры и составить уравнение.
При арифметическом решении должны быть выписаны все вопросы плана и арифметические действия, служащие ответами на них, а при алгебраическом - мотивы выбора неизвестных, составленные уравнения и их решение.
Шульц дал арифметическое решение этого уравнения, пользуясь произвольными значениями констант, и пришел к выводу, что эффективность фракционирования должна сильно повышаться при работе с разбавленными растворами.
Задача допускает чисто арифметическое решение, причем можно обойтись даже без действий над дробями.
А теперь приведем арифметическое решение этой задачи - решение, в котором удается обойтись вообще без составления уравнений.
Возможны еще и другие арифметические решения.
В этом параграфе некоторые задачи допускают как алгебраическое, гак в арифметическое решение; они могут быть использованы при повторении курса арифметики.
Они предусматривают применение арифметических действий по плану решения задачи. Арифметическое решение часто применяется в расчетах по химическим формулам и уравнениям, по концентрациям растворов и пр.
Но здесь мы приводим только арифметические решения задач.
Мы не подразделяем задачи на алгебраические и арифметические, так как задачи, решаемые арифметически, всегда можно решить и алгебраически. Наоборот, задачи, решаемые с помощью уравнений, нередко допускают более простое арифметическое решение. В отделе решений мы даем иногда арифметическое, иногда алгебраическое решение, но это не должно ни в какой мере стеснять инициативу учащегося в выборе способа решения.
Мы не подразделяем задачи на алгебраические и арифметические, так как задачи, решаемые арифметически, всегда можно решить и алгебраически. Наоборот, задачи, решаемые с помощью уравнений, нередко допускают более простое арифметическое решение. В отделе решений мы даем иногда арифметическое, иногда алгебраическое решение, но это не должно ни L какой мере стеснять инициативу учащегося в выборе способа решения.
Вот пример косвенной задачи: кусок сплава меди и цинка объемом в 1 дм3 имеет массу 8 14 кг. Здесь из условия задачи не видно, какие действия ведут к ее решению. При так называемом арифметическом решении нужно проявить подчас большую изобретательность, чтобы наметить план решения косвенной задачи. Каждая новая задача требует создания нового плана. Труд вычислителя затрачивается нерационально.
Для подтверждения своей мысли Петров изобретал задачи, которые вследствие нешабдаояности очень затрудняли опытных искусных учителей, но легко решались более способными учениками, еще не испорченными учебой. К числу таких задач (их Петров сочинил несколько) относится и задача об артели косцов. Опытные учителя, разумеется, легко могли решать ее при помощи уравнения, но простое арифметическое решение от них ускользало. Между тем, задача настолько проста, что привлекать для ее решения алгебраический аппарат совсем не стоит.
Вот пример косвенной задачи: кусок сплава меди и цинка объемом в дм3 весит 8 14 кг. Здесь из условия задачи не видно, какие действия ведут к ее решению. При так называемом арифметическом решении нужно проявить подчас большую изобретательность, чтобы наметить пл н решения косвенной задачи. Каждая новая задача требует создания нового плана. Труд вычислителя затрачивается нерационально.
Решение задач алгебраическим способом (с помощью уравнений) По учебнику И.И. Зубаревой, А.Г. Мордковича
учитель математики МОУ «ЛСОШ №2»
г. Лихославль Тверской области
Цели: - показать правило решения задач алгебраическим способом; - формировать умение решать задачи арифметическим и алгебраическим способами.
Способы
решения задач
Арифметический (решение задачи по действиям)
Алгебраический (решение задачи с помощью уравнения)
Задача №509
Прочитайте задачу.
Постарайтесь найти разные способы решения.
В двух коробках 16 кг печенья. Найдите массу печенья в каждой коробке, если в одной из них печенья на 4 кг больше, чем в другой.
1 способ решения
(смотреть)
3 способ решения
(смотреть)
2 способ решения
4 способ решения
1 способ (арифметический)
- 16 – 4 = 12 (кг) – печенья останется в двух коробках, если из первой коробки достать 4 кг печенья.
- 12: 2 = 6 (кг) – печенья было во второй коробке.
- 6 + 4 = 10 (кг) – печенья было в первой коробке.
Ответ
В решении использован способ уравнивания .
Вопрос : почему он получил такое название?
Назад )
2 способ (арифметический)
- 16 + 4 = 20 (кг) – печенья станет в двух коробках, если во вторую коробку добавить 4 кг печенья.
- 20: 2 = 10 (кг) – печенья было в первой коробке.
- 10 - 4 = 6 (кг) – печенья было во второй коробке.
Ответ : масса печенья в первой коробке – 10 кг, а во второй 6 кг.
В решении использован способ уравнивания .
Назад )
3 способ (алгебраический)
Обозначим массу печенья во второй коробке буквой х кг. Тогда масса печенья в первой коробке будет равна (х +4) кг, а масса печенья в двух коробках – ((х +4)+ х ) кг.
(х +4)+ х =16
х +4+ х =16
2 х +4=16
2 х =16-4
2 х =12
х =12:2
Во второй коробке было 6 кг печенья.
6+4=10 (кг) – печенья было в первой коробке.
В решении использован алгебраический способ.
Задание : Объясните, в чем отличие арифметического способа от алгебраического?
Назад )
4 способ (алгебраический)
Обозначим массу печенья в первой коробке буквой х кг. Тогда масса печенья во второй коробке будет равна (х -4) кг, а масса печенья в двух коробках – (х +(х -4)) кг.
По условию задачи, в двух коробках было 16 кг печенья. Получаем уравнение:
х +(х -4)=16
х + х -4=16
2 х -4=16
2 х =16+4
2 х =20
х =20:2
В первой коробке было 10 кг печенья.
10-4=6 (кг) – печенья было во второй коробке.
В решении использован алгебраический способ.
Назад )
- Какие два способа решения задачи были использованы?
- Что собой представляет способ уравнивания?
- Чем первый способ уравнивания отличается от второго?
- В одном кармане на 10 рублей больше, чем в другом. Как можно уравнять количество денег в обоих карманах?
- В чем заключается алгебраический способ решения задачи?
- Чем отличается 3 способ решения задачи от 4-го?
- В одном кармане на 10 рублей больше, чем в другом. Известно, что меньшее количество денег обозначили переменной х . Как будет выражаться через х
- Если за х обозначить большее количество денег в кармане, тогда как будет выражаться через х количество денег в другом кармане?
- В магазине шампунь стоит на 25 руб дороже, чем в супермаркете. Обозначьте одну переменную буквой у и выразите другую стоимость через эту переменную.
Задача №510
Решите задачу арифметическим и алгебраическим способами.
С трех участков земли собрали 156 ц картофеля. С первого и второго участков картофеля собрали поровну, а с третьего – на 12 ц больше, чем с каждого из двух первых. Сколько картофеля собрали с каждого участка.
Алгебраический способ
(смотреть)
Арифметический способ
(смотреть)
выход )
Арифметический способ
- 156 - 12 = 144 (ц) – картофеля собрали бы с трех участков, если бы урожайность всех участков была бы одинаковой.
- 144: 3 = 48 (ц) – картофеля собрали с первого и собрали со второго участков.
- 48 + 12 = 60 (ц) – картофеля собрали с третьего участка.
Ответ
Назад )
Алгебраический способ
Пусть с первого участка собрали х ц картофеля. Тогда со второго участка собрали тоже х ц картофеля, а с третьего участка собрали (х +12) ц картофеля.
По условию со всех трех участков собрали 156 ц картофеля.
Получаем уравнение:
х + х + (х +12) =156
х + х + х + 12 = 156
3 х +12 = 156
3 х = 156 – 12
3 х = 144
х = 144: 3
С первого и второго участков собрали по 48 ц картофеля.
48 +12 = 60 (ц) – картофеля собрали с третьего участка.
Ответ : с первого и второго участков собрали по 48 ц картофеля, а с третьего участка собрали 60 ц картофеля.
Назад
