Невозможный треугольник. Что нужно знать про треугольник Пенроуза? Невозможный треугольник в Перте

Придумано несколько невозможных фигур — лестница, треугольник и х-зубец. Эти фигуры на самом деле в объемном изображении вполне реальны. Но когда художник проектирует объем на бумагу, объекты кажутся невозможными. Треугольник, который еще носит название "трибар", стал замечательным примером того, как невозможное становится возможным, когда прикладываешь усилия.

Все эти фигуры — прекрасные иллюзии. Достижения человеческого гения используют художники, которые рисуют в стиле имп-арт.

Нет ничего невозможного. Так можно сказать про треугольник Пенроуза. Это геометрически невозможная фигура, элементы которой не могут быть соединены. Все-таки невозможный треугольник стал возможным. Шведский живописец Оскар Реутерсвард в 1934 г. представил миру невозможный треугольник из кубиков. О. Реутерсвард считается первооткрывателем этой зрительной иллюзии. В честь этого события на почтовой марке Швеции напечатали позже этот рисунок.

А в 1958 г. математиком Роджером Пенроузом была напечатана публикация в английском журнале о невозможных фигурах. Именно он создал научную модель иллюзии. Роджер Пенроуз был невероятным ученым. Он проводил исследования в области теории относительности, а также увлекательной квантовой теории. Его наградили премией Вольфа совместно с С. Хокингом.

Известно, что художник Мауриц Эшер, находясь под впечатлением этой статьи, нарисовал свою изумительную работу — литографию «Водопад». Но возможно ли сделать треугольник Пенроуза? Как сделать, если это возможно?

Трибар и реальность

Хоть и фигура считается невозможной, сделать треугольник Пенроуза своими руками — легче простого. Его можно сделать из бумаги. Любители оригами просто не могли обойти стороной трибар и нашли все же способ создать и подержать в руках вещь, которая казалась ранее запредельной фантазией ученого.

Однако нас обманывают собственные глаза, когда мы смотрим на проекцию трехмерного объекта из трех перпендикулярных линий. Наблюдателю кажется, что он видит треугольник, хотя на самом деле это не так.

Геометрия поделки

Треугольник трибар, как сказано, на самом деле треугольником не является. Треугольник Пенроуза — иллюзия. Лишь под определенным углом объект выглядит как равносторонний треугольник. Однако объект в натуральном виде - это 3 грани куба. На такой изометрической проекции совпадают на плоскости 2 угла: ближний от зрителя и дальний.

Оптический обман, конечно, быстро раскрывается, лишь только взять этот объект в руки. А еще раскрывает иллюзию тень, так как тень трибара ясно показывает, что углы не совпадают в реальности.

Трибар из бумаги. Схемы

Как сделать треугольник Пенроуза своими руками из бумаги? Есть ли схемы этой модели? На сегодня изобретены 2 разверстки для того, чтоб сложить такой невозможный треугольник. Основы геометрии подсказывают, как именно складывать объект.

Чтобы сложить треугольник Пенроуза своими руками, понадобится выделить всего 10-20 минут. Нужно подготовить клей, ножницы для нескольких разрезов и бумагу, на которой печатается схема.

Из такой заготовки получается самый популярный невозможный треугольник. Поделка-оригами не слишком сложна в изготовлении. Поэтому получится обязательно с первого раза, причем даже у школьника, только начавшего изучать геометрию.

Как видим, получается очень симпатичная поделка. Вторая заготовка выглядит иначе и складывается по-другому, но сам треугольник Пенроуза в итоге выглядит так же.

Этапы создания треугольника Пенроуза из бумаги.

Выберите одну из 2 удобных для вас заготовок, скопируйте файл и распечатайте. Приведем здесь пример и второй модели разверстки, которая выполняется немного проще.

Сама заготовка для оригами «Трибар» уже содержит все необходимые подсказки. По сути, инструкция к схеме не требуется. Достаточно только скачать на плотный бумажный носитель, иначе работать будет неудобно и фигура не получится. Если нельзя сразу распечатать на картоне, то требуется приложить эскиз к новому материалу и по контуру вырезать чертеж. Для удобства можно скрепить скрепками.

Что делать затем? Как сложить треугольник Пенроуза своими руками поэтапно? Нужно следовать такому плану действий:

1. Наводим обратной стороной ножниц те линии, где нужно согнуть, согласно инструкции. Сгибаем все линии
2. Там, где нужно, делаем разрезы.
3. Склеиваем с помощью ПВА те лоскутки, что предназначены для скрепления детали в единое целое.

Готовую модель можно перекрасить в любой цвет, или заранее взять для работы цветной картон. Но даже если объект будет из белой бумаги, все равно, все, кто входит в вашу гостиную впервые, будут непременно обескуражены такой поделкой.

Рисунок треугольника

Как нарисовать треугольник Пенроуза? Не все любят заниматься оригами, но многие обожают рисовать.

Для начала изображается обычный квадрат любого размера. Затем внутри рисуется треугольник, основой которого является нижняя сторона квадрата. В каждый угол вписывается небольшой прямоугольник, все стороны которого стираются; остаются лишь те стороны, что примыкают к треугольнику. Это необходимо, чтобы линии были ровными. Получается треугольник с усеченными углами.

Следующий этап — изображение второго измерения. От левой части верхнего нижнего угла проводится строго прямая линия. Такая же линия проводится, начиная с нижнего левого угла, и немного не доводится до первой линии 2 измерения. Еще одна линия рисуется с правого угла параллельно нижней стороне основной фигуры.

Заключительный этап — внутри второго измерения рисуется третье с помощью еще трех небольших линий. Маленькие линии начинаются от линий второго измерения и завершают образ трехмерного объема.

Другие фигуры Пенроуза

По такой же аналогии можно нарисовать и иные фигуры — квадрат либо шестиугольник. Иллюзия будет соблюдаться. Но все же эти фигуры уже не так потрясают воображение. Такие многоугольники кажутся просто сильно перекрученными. Современная графика позволяет сделать и более интересные версии знаменитого треугольника.

Кроме треугольника, всемирно известна еще и лестница Пенроуза. Идея состоит в обмане зрения, когда кажется, что человек поднимается непрерывно вверх при движении по часовой стрелке, а если движется против часовой стрелки, то вниз.

Непрерывная лестница известна больше по ассоциации с картиной М. Эшера «Восхождение и спуск». Интересно, что, когда человек проходит все 4 пролета этой иллюзорной лестницы, он неизменно оказывается там, откуда начинал.

Известны и другие объекты, вводящие разум человека в заблуждение, такие как невозможный брусок. Или сделанный по тем же законам иллюзии ящик с пересекающимися гранями. Но все эти объекты уже придуманы на основе статьи замечательного ученого - Роджера Пенроуза.

Невозможный треугольник в Перте

Фигуре, названной в честь математика, оказана честь. Ей установлен памятник. В 1999 году в одном из городов Австралии (Перт) установлен большой треугольник Пенроуза из алюминия, который составляет 13 метров в высоту. Рядом с алюминиевым гигантом с удовольствием фотографируются туристы. Но если выбрать для фотографии другой угол зрения, то обман становится очевидным.

Сегодняшнего дня я открываю новую рубрику под названием “Раскрой”, где буду выкладывать чертежи, шаблоны, а также выкройку оптических иллюзий. Сегодня мы с вами будем делать невозможный треугольник с бумаги. Так как, мы не можем создать невозможный треугольник, то будем создавать модель, которую будем рассматривать под определенным углом.

1. Скачайте и распечатайте
2. Следуйте инструкцией на картинке

Как правильно рассматривать невозможный треугольник?

Так, как иллюзия основана на неоднозначном рисунке куба в изометрической проекции. То в этой ориентации совпадут углы, ближний к зрителю и дальний угол от зрителя. Это означает, что при прохождении вниз по ближайшему ребру куба, и двух нижних ребер, мы возвращаемся к отправной точке, где на самом деле путь заканчивается в дальнем углу.

Этот невозможный треугольник Пенроуза

В такой сфере живописного искусства, как роспись кожи человека, новейшим трендом сегодня являются фигуры оптических иллюзий, в частности треугольник Пенроуза, или трибар, который еще называют невозможным. Впервые данная форма была открыта, или придумана, шведским живописцем Оскаром Реутерсвардом, который представил ее миру в виде набора из кубиков на рубеже 1935 г. Позднее, уже в 80-х годах нашего века, рисунок трибара был напечатан в Швеции на почтовой марке.

Однако широчайшую известность образ невозможного треугольника Пенроуза, принадлежащего к категории оптических иллюзий, приобрел в 1958 году, после выхода в свет публикации английского математика Роджера Пенроуза о невозможных фигурах, напечатанной в Британском журнале психологии. Вдохновленный этой публикацией, известный живописец из Голландии Мауриц Эшер сотворил в 1961 г. одну из самых популярных своих работ «Водопад».

Обман зрения

Оптические иллюзии в живописи — это зрительный обман восприятия реальной картины, создаваемый художником определенным расположением линий на плоскости. При этом зрителем неверно оценивается величина углов фигуры или длина ее сторон, что служит предметом изучения таких подразделов психологии, как, например, гештальтотерапия. Созданием оптических иллюзий увлекался, помимо Эшера, еще один великий художник — всемирно известный Сальвадор Дали. Яркой иллюстрацией его увлечения является, например, картина «Лебеди, отражающиеся в слонах».

Вышеупомянутый треугольник тоже относится к оптическим иллюзиям, точнее к той их части, которая называется невозможные фигуры. Их именуют так из-за ощущения, которое возникает при взгляде на подобную форму, что ее существование в реальном мире просто невозможно.

Применение иллюзий

Благодаря своей уникальной форме иллюзорные объекты служат предметом пристального внимания не только художников и мастеров тату — треугольник, сделанный своими руками или с помощью профессионалов, может выступать также в качестве логотипа компании. Замечательными примерами такого применения иллюзорных форм считаются: логотип музыкальной психоделической группы, играющей фолк-музыку, Conundum in Deed, представляющий собой невозможный куб, или марка компании-производителя микросхем Digilent Inc, являющаяся классическим треугольным образом Пенроуза.

Сделать свой логотип можно и самому, не обращаясь к профессионалам. Для этого достаточно следовать инструкции, придерживаясь которой можно выполнить как простой рисунок на бумаге или в планшете, так и смастерить объемную фигуру. Ее можно будет поместить в качестве вывески или наружной рекламы своего магазина.

Как сделать самому

Пошаговая инструкция, как нарисовать трибар, используя Adobe Illustrator:

1. Вначале нужно сделать 3 квадратика с помощью Rectangle tool. Для этого предварительно требуется зайти в меню View и включить Smart Guides.
2. Теперь нужно выделить все и перейти в меню Object, затем — в Transform и открыть Transform each, где в окне Scale нужно проставить значение Vertical Scale = 86,6% и нажать OK.
3. Теперь нужно задать каждой грани свой угол поворота, а для этого войти в Window открыть Transform. Там сначала проставить значение для скоса (Shear), а потом для поворота (Rotate): верхняя поверхность куба — Shear +30°, Rotate -30°; правая поверхность — Shear +30°, Rotate +30°; левая поверхность — Shear -30°, Rotate -30°.
4. Теперь с помощью линий Smart Guides нужно состыковать все части куба между собой: для этого следует зацепить мышкой угол одной из сторон и подтянуть его к другой, совместив их.
5. На этом этапе нужно повернуть куб на 30°: для этого зайти в Object, выбрать Transform и Rotate, там проставить значение угла 30° и нажать OK.
6. Поскольку для получения трибара понадобится 6 кубиков, следует выделить куб, нажать Alt и Shift и потянуть мышкой выделенный объект в сторону, растягивая его в горизонтальном направлении. Не снимая выделения 6 раз нажать CMD + D. Получили 6 кубов.
7. Оставив выделение на последнем кубе, нажать Enter и в окне Move изменить значение угла на 240°, после чего нажать Copy. Далее снова нажимать CMD + D до получения 6 копий.
8. Теперь все повторить: опять нажать Enter, выделить последний кубик, только угол назначить 120° и копий сделать всего 5.
9. С помощью Selection Tool нужно выделить верхнюю поверхность фигуры (можно ее перекрасить, чтобы было нагляднее), открыть меню Object — Arrange — Send to back. Теперь выбрать окрашенную поверхность верхнего куба, зайти в Object — Arrange — Bring to Front.

Иллюзия Пенроуза готова. Ее можно разместить на своей страничке в соцсетях или блоге или использовать для бизнеса.

Невозможное все-таки возможно. И яркое подтверждение тому - невозможный треугольник Пенроуза. Открытый еще в прошлом веке, он до настоящего время часто встречается в научной литературе. И как бы это удивительно ни звучало, но его можно изготовить даже самостоятельно. И сделать это совсем несложно. Многие любители рисовать или собирать оригами уже давно смогли это сделать.

Значение треугольника Пенроуза

Существует несколько названий данной фигуры. Одни называют ее невозможным треугольником, другие - просто трибаром. Но чаще всего можно встретить определение именно «треугольник Пенроуза».

Понимают под данными определениями одну из основных невозможных фигур. Если судить по названию, то получить подобную фигуру в реальности невозможно. Но на практике было доказано, что сделать это все-таки можно. Вот только форму будет принимать, если смотреть на нее с определенной точки под нужным углом. Со всех остальных сторон фигура вполне реальная. Она представляет собой три ребра куба. И изготовить подобную конструкцию легко.

История открытия

Треугольник Пенроуза был открыт в далеком 1934 году художником из Швеции Оскаром Реутерсвардом. Фигура была представлена в виде собранных вместе кубиков. В дальнейшем художника стали называть «отцом невозможных фигур».

Возможно, рисунок Реутерсварда так и остался бы малоизвестным. Но в 1954 году шведский математик Роджер Пенроуз написал статью о невозможных фигурах. Это стало вторым рождением треугольника. Правда, ученый представил его в более привычном виде. Он использовал не кубики, а балки. Три балки соединялись между собой под углом в 90 градусов. Отличие также было в том, что Реутерсвард использовал параллельную перспективу во время рисования. А Пенроуз применил перспективу линейного характера, что придало рисунку еще больше невозможности. Такой треугольник был опубликован в 1958 году в одном из британских журналов о психологии.

В 1961 году художник Мауриц Эшер (Голландия) создал одну из своих наиболее популярных литографий «Водопад». Создана она была под впечатлением, которое было вызвано статьей о невозможных фигурах.

В восьмидесятых годах прошлого столетия трибар и другие невозможные фигуры изображались на государственных почтовых марках Швеции. Продолжалось это на протяжении нескольких лет.

В конце прошлого века (а точнее в 1999 году) в Австралии была создана скульптура из алюминия, изображавшая невозможный треугольник Пенроуза. Она достигала в высоту 13 метров. Подобные скульптуры, только меньшие по размерам, встречаются и в других странах.

Невозможное в реальности

Как можно было уже догадаться, треугольник Пенроуза на самом деле не является треугольником в обычном понимании. Он представляет собой три грани куба. Но если смотреть с определенного угла, получается иллюзия треугольника за счет того, что на плоскости полностью совпадают 2 угла. Зрительно совмещается ближний от смотрящего и дальний углы.

Если быть внимательным, то можно догадаться, что трибар является не чем иным, как иллюзией. Реальный вид фигуры может выдать тень от нее. По ней видно, что на самом деле углы не соединяются. Ну и, конечно же, все становится понятно, если фигуру взять в руки.

Изготовление фигуры своими руками

Треугольник Пенроуза можно собрать самостоятельно. К примеру, из бумаги или картона. И помогут в этом схемы. Их нужно всего лишь распечатать и склеить. В Интернете представлено две схемы. Одна из них немного легче, другая - посложнее, но более популярная. Обе представлены на рисунках.

Треугольник Пенроуза станет интересным изделием, которое обязательно понравится гостям. Он точно не останется незамеченным. Первым этапом для его создания является подготовка схемы. Она переносится на бумагу (картон) с помощью принтера. А далее все еще проще. Ее нужно просто вырезать по периметру. На схеме уже имеются все необходимые линии. Удобнее будет работать с более плотной бумагой. Если схема распечатана на тонкой бумаге, а хочется чего-то поплотнее, заготовка просто прикладывается на выбранный материал и вырезается по контуру. Чтобы схема не сдвигалась, ее можно прикрепить скрепками.

Далее нужно определить те линии, по которым заготовка будет сгибаться. Как правило, на схеме она представлена Сгибаем деталь. Далее определяем места, которые подлежат склеиванию. Они промазываются клеем ПВА. Деталь соединяется в единую фигуру.

Деталь можно раскрасить. А можно изначально использовать цветной картон.

Рисуем невозможную фигуру

Треугольник Пенроуза можно также нарисовать. Для начала на листе рисуется простой квадрат. Размер его не имеет значения. С основанием на нижнюю сторону квадрата, рисуется треугольник. В его углах внутри рисуются небольшие прямоугольники. Их стороны нужно будет стереть, оставив лишь те, что являются общими с треугольником. В результате должен получиться треугольник с усеченными углами.

С левой части верхнего нижнего угла проводится прямая линия. Такая же линия, но немного короче, рисуется из левого нижнего угла. Параллельно основанию треугольника проводится линия, выходящая из правого угла. Получается второе измерение.

По принципу второго рисуется третье измерение. Только в данном случае все прямые основываются на углы фигуры не первого, а второго измерения.

Треугольник Пенроуза - одна из основных невозможных фигур , известная также под названиями невозможный треугольник и трибар .

Треугольник Пенроуза (в цвете)

История

Широкую известность эта фигура обрела после опубликования статьи о невозможных фигурах в Британском журнале психологии английским математиком Роджером Пенроузом в 1958 году . Также в этой статье невозможный треугольник был изображен в наиболее общей форме - в виде трёх балок, соединённых друг с другом под прямыми углами. Под влиянием этой статьи в голландский художник Мауриц Эшер создал одну из своих знаменитых литографий «Водопад ».

3D-распечатка треугольника Пенроуза

Скульптуры

13-метровая скульптура невозможного треугольника из алюминия была воздвигнута в 1999 году в городе Перт (Австралия)

Та же скульптура при изменении точки просмотра

Другие фигуры

Хотя вполне возможно построение аналогов треугольника Пенроуза на основе правильных многоугольников, визуальный эффект от них не столь впечатляющий. При увеличении количества сторон объект кажется просто искривлённым или скрученным.

См. также

• Три зайца (англ. Three hares )

Иллюзиони́зм - в широком смысле, это название для философской позиции в отношении некоторых явлений; для способа рассмотрения таких явлений; в узком смысле - это название для нескольких конкретных философских теорий.

Иллюзия стены кафе - оптическая иллюзия, создаваемая за счёт совместного действия разных уровней нейронных механизмов: нейронов сетчатки и нейронов зрительной коры.

Невозможная фигура - один из видов оптических иллюзий, фигура, кажущаяся на первый взгляд проекцией обычного трёхмерного объекта, при внимательном рассмотрении которой становятся видны противоречивые соединения элементов фигуры. Создаётся иллюзия невозможности существования такой фигуры в трёхмерном пространстве.

Невозможный куб - это невозможная фигура, придуманная Эшером для его литографии Бельведер. Это двумерная фигура, которая внешне напоминает перспективу трёхмерного куба, несовместимую с реальным кубом. На литографии Бельведер мальчик, сидящий у основания здания, держит невозможный куб. Рисунок аналогичного куба Неккера лежит у его ног, в то время как само здание содержит те же свойства невозможного куба.

Невозможный куб заимствует двусмысленность куба Неккера, в котором рёбра нарисованы в виде отрезков, и который можно интерпретировать в одном из двух различных трёхмерных ориентаций.

Невозможный куб обычно рисуется как куб Неккера, в котором рёбра (отрезки) заменены кажущимися цельными брусками.

В литографии Эшера верхние четыре соединения брусков и верхнее пересечение брусков соответствуют одной из двух интерпретаций куба Неккера, в то время как нижние четыре соединения и нижнее пересечение соответствуют другой интерпретации. Другие вариации невозможного куба комбинируют эти свойства другими способами. Например, один из кубов на рисунке содержит все восемь соединений согласно одной из интерпретаций куба Неккера, а оба пересечения соответствуют другой интерпретации.

Кажущаяся цельность брусков даёт невозможному кубу большую визуальную двусмысленность, чем куб Неккера, который с меньшими шансами воспринимается как невозможный объект. Иллюзия играет на интерпретации человеческим глазом двумерного рисунка как трёхмерного объекта. Трёхмерные объекты могут казаться невозможными, если смотреть на них под определённым углом и, либо сделав на объекте в нужном месте разрезы, либо при использовании изменённой перспективы, но человеческий опыт с прямоугольными объектами делает невозможное восприятие более вероятным, чем иллюзии в реальности.

Другие художники, включая Джоза Де Мея, также рисовали произведения с невозможным кубом.

Сфабрикованная фотография якобы невозможного куба была опубликована в июньском номере 1966 журнала Scientific American, где была названа «клетью Фримиша». Невозможный куб был помещён на австрийской почтовой марке.

Бливет, также известный как пойут или дьявольские вилы, является необъяснимой фигурой, оптической иллюзией и невозможной фигурой. Кажется, что три цилиндрических стержня превращаются в два бруска.

Оскар Рутерсвард (принятое в русскоязычной литературе написание фамилии; правильнее Рёйтерсверд), швед. Oscar Reutersvärd (29 ноября 1915, Стокгольм, Швеция - 2 февраля 2002, Лунд) - «отец невозможной фигуры», шведский художник, специализировавшийся в изображении невозможных фигур, то есть таких, которые можно изобразить (учитывая неизбежные нарушения перспективы при представлении 3-мерного пространства на бумаге), но нельзя создать. Одна из его фигур получила дальнейшее развитие как «треугольник Пенроуза» (1934). Творчество Рутерсварда можно сравнить с творчеством Эшера, однако если последний использовал невозможные фигуры как «костяки» для изображения фантастических миров, то Рутерсварда интересовали лишь фигуры как таковые. За свою жизнь Рутерсвард изобразил около 2500 фигур в изометрической проекции. Книги Рутерсварда опубликованы на многих языках, в том числе на русском.

Ма́уриц Корне́лис Э́шер (нидерл. Maurits Cornelis Escher [ˈmʌu̯rɪts kɔrˈneːlɪs ˈɛʃər̥]; 17 июня 1898, Леуварден, Нидерланды - 27 марта 1972, Хилверсюм, Нидерланды) - нидерландский художник-график. Известен прежде всего своими концептуальными литографиями, гравюрами на дереве и металле, в которых он мастерски исследовал пластические аспекты понятий бесконечности и симметрии, а также особенности психологического восприятия сложных трёхмерных объектов, самый яркий представитель имп-арта.